Multidomain spectral method for the Gauss hypergeometric function
Multidomain spectral method for the Gauss hypergeometric function
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高斯超几何函数的多域谱方法
DOI：
10.1007/s11075-019-00741-7
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发表时间：
2019
影响因子：
2.1
通讯作者：
Crespo S
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Crespo S
我们提出了一个多域谱方法的Fuchsian常微分方程的超几何方程的特殊情况下。我们的混合方法使用Frobenius的方法和Moebius变换的超几何方程的每个奇异点附近，这导致一个自然的分解的真实的轴到域。在每个域中，超几何方程的解通过条件良好的超球面谱方法构造。的解决方案是匹配的域边界，导致一个解决方案，这是分析的整个紧致的真实的线，除了奇点和切割的黎曼曲面上的解决方案被定义。该解决方案进一步扩展到整个黎曼球面通过使用相同的方法封闭的椭圆的奇点。超几何方程在椭圆上求解，边界数据来自真实的轴。该解决方案是继续作为一个调和函数的内部的磁盘通过解决拉普拉斯方程在极坐标与最佳的复杂性傅立叶超球面谱方法。在解决方案中出现的情况下，一个混合的方法，涉及对数项的分析处理。我们显示了几个例子，机器精度可以达到广泛的一类参数，但也讨论了几乎退化的情况下，这是不可能的。
We present a multidomain spectral approach for Fuchsian ordinary differential equations in the particular case of the hypergeometric equation. Our hybrid approach uses Frobenius’ method and Moebius transformations in the vicinity of each of the singular points of the hypergeometric equation, which leads to a natural decomposition of the real axis into domains. In each domain, solutions to the hypergeometric equation are constructed via the well-conditioned ultraspherical spectral method. The solutions are matched at the domain boundaries to lead to a solution which is analytic on the whole compactified real line, except for the singular points and cuts of the Riemann surface on which the solution is defined. The solution is further extended to the whole Riemann sphere by using the same approach for ellipses enclosing the singularities. The hypergeometric equation is solved on the ellipses with the boundary data from the real axis. This solution is continued as a harmonic function to the interior of the disk by solving the Laplace equation in polar coordinates with an optimal complexity Fourier–ultraspherical spectral method. In cases where logarithms appear in the solution, a hybrid approach involving an analytical treatment of the logarithmic terms is applied. We show for several examples that machine precision can be reached for a wide class of parameters, but also discuss almost degenerate cases where this is not possible.
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