A multiplicative comparison of Segal and Waldhausen K-Theory
A multiplicative comparison of Segal and Waldhausen K-Theory
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Segal 和 Waldhausen K 理论的乘法比较
DOI：
10.1007/s00209-019-02394-7
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发表时间：
2019
影响因子：
0.8
通讯作者：
Osorno, Angélica M.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Bohmann, Anna Marie;Osorno, Angélica M.
在本文中，我们在两个乘法代数 K 理论构造（Elmendorf 和 Mandell 版本的 Segal K 理论以及 Blumberg 和 Mandell 版本的 Waldhausen 构造）之间建立了乘法等价。这种等价意味着通过这两个经典代数K理论函子构造的环谱、代数谱和模谱分别等价于环、代数或模谱。它还允许对通过 K 理论的这些定义构建的光谱丰富的类别进行比较。由于 K 理论的 Elmendorf-Mandell 和 Blumberg-Mandell 乘法版本都用多范畴语言编码了它们的乘法性，我们的主要定理是，存在与这两个对称多重函子相关的多重自然变换，将经典函子从 Segal 的构造提升到 Waldhausen 的构造。在此过程中，我们将 Elmendorf-Mandell 构造稍微推广到对称幺半群范畴。
In this paper, we establish a multiplicative equivalence between two multiplicative algebraicK-theory constructions, Elmendorf and Mandell’s version of Segal’sK-theory and Blumberg and Mandell’s version of Waldhausen’sconstruction. This equivalence implies that the ring spectra, algebra spectra, and module spectra constructed via these two classical algebraicK-theory functors are equivalent as ring, algebra or module spectra, respectively. It also allows for comparisons of spectrally enriched categories constructed via these definitions ofK-theory. As both the Elmendorf–Mandell and Blumberg–Mandell multiplicative versions ofK-theory encode their multiplicativity in the language of multicategories, our main theorem is that there is multinatural transformation relating these two symmetric multifunctors that lifts the classical functor from Segal’s to Waldhausen’s construction. Along the way, we provide a slight generalization of the Elmendorf–Mandell construction to symmetric monoidal categories.
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