Edgeworth expansions for independent bounded integer valued random variables
Edgeworth expansions for independent bounded integer valued random variables
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独立有界整数值随机变量的 Edgeworth 展开
DOI：
10.1016/j.spa.2022.07.001
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发表时间：
2022
影响因子：
1.4
通讯作者：
Hafouta, Yeor
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dolgopyat, Dmitry;Hafouta, Yeor
我们得到了一致有界独立但不一定同分布的整值随机变量部分和的局部概率的渐近展开式。展开式涉及多项式和三角多项式的乘积。这些结果也适用于三角形阵列。我们的结果不需要任何额外的假设。作为展开式的一个应用，我们找到了经典Edgeworth展开式的充要条件。证明了r阶Edgeworth展开式的有效性有两个可能的障碍：第一，模为h的∈N的基本部分和的分布与均匀分布之间的距离可能不是o(σN 1−r)，其中σN是部分和的标准差。其次，这种分布可能具有所需的贴近性，但这种贴近性是不稳定的，在某种意义上，它可以通过删除有限多的项来摧毁。在第一种情况下，阶数r的展开失败。在第二种情况下，它可能成立，也可能不成立，这取决于其特征函数的求和的导数的行为，其移除导致均匀分布的破坏。我们还证明了经典Prokhorov条件的一个量化版本(对于强局部中心极限定理)对于Edgeworth展开是充分的，而且这个条件在某种意义上是最优的。
We obtain asymptotic expansions for local probabilities of partial sums for uniformly bounded independent but not necessarily identically distributed integer-valued random variables. The expansions involve products of polynomials and trigonometric polynomials. These results also have counterparts for triangular arrays. Our results do not require any additional assumptions. As an application of our expansions we find necessary and sufficient conditions for the classical Edgeworth expansion. It turns out that there are two possible obstructions for the validity of the Edgeworth expansion of order r. First, the distance between the distribution of the underlying partial sums modulo some h∈ N and the uniform distribution could fail to be o (σ N 1− r), where σ N is the standard deviation of the partial sum. Second, this distribution could have the required closeness but this closeness is unstable, in the sense that it could be destroyed by removing finitely many terms. In the first case, the expansion of order r fails. In the second case it may or may not hold depending on the behavior of the derivatives of the characteristic functions of the summands whose removal causes the break-up of the uniform distribution. We also show that a quantitative version of the classical Prokhorov condition (for the strong local central limit theorem) is sufficient for Edgeworth expansions, and moreover this condition is, in some sense, optimal.
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DOI：
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发表时间：
1985
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作者：
A. Mukhin
通讯作者：
A. Mukhin
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发表时间：
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