Leonard triples, the Racah algebra, and some distance-regular graphs of Racah type
Leonard triples, the Racah algebra, and some distance-regular graphs of Racah type
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Leonard 三元组、Racah 代数和一些 Racah 类型的距离正则图
DOI：
10.1016/j.laa.2015.07.003
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发表时间：
2015-11
影响因子：
1.1
通讯作者：
Suogang Gao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Huan Liu;Bo Hou;Suogang Gao
伦纳德三元组是指有限维向量空间上可对角化算子的三元组，使得对于每个算子，存在所选算子的本征基的排序，其他两个算子相对于该本征基是不可约三对角的。设C表示复数域，D表示至少为3的整数。设12 H ″（2D + 1，2）表示（2D + 1）-立方体关于原始P-多项式结构R 0，R1，...，RD和另一个Q-多项式结构E0，E2，E4，...，E3，E1的二分图.设1 2 H <$（4 D，2）表示四维立方体的折叠半图，1 2 H <$（4 D+ 2，2）表示（4 D+ 2）立方体的折叠半图.注意它们都是Racah型的距离正则图。本文考虑了这三个图与C上的伦纳德三元组或Racah代数之间的关系。我们的结果描述如下。1.固定1 2 H ″（2 D+ 1，2）的一个顶点，设T1表示关于该顶点的对应的Terwilliger代数.首先构造T1的三个元素U1，U1 ε和U1 ε.然后证明了三元组U1，U1 ε，U1 ε作为伦纳德三元组作用在每个不可约T1-模上.此外，设K1是Racah代数，其生成元和真实的参数满足一定条件.我们展示了一个从K1到T1的C-代数同态。2.固定1 2 H <$（4 D，2）的一个顶点，设T2表示1 2 H <$（4 D，2）关于这个顶点的特威利格代数。我们构造了T2的三个元素U2，U2 ε，U2 ε，并证明了三元组U2，U2 ε，U2 ε不仅作为伦纳德三元组作用在每个不可约T2-模上，而且满足一些非常吸引人的方程.此外，设W表示一个型为n的不可约T2-模，K是关于n的Racah代数.则在W上存在一个K-模结构。3.固定1 2 H <$（4 D+ 2，2）的一个顶点，设T3表示1 2 H <$（4 D+ 2，2）关于这个顶点的特威利格代数。我们构造了T3的三个元素U3，U3 ε，U3 ε，并证明了三元组U3，U3 ε，U3 ε不仅作为一个伦纳德三元组作用在每个不可约T3-模上，而且满足一些非常吸引人的方程.此外，设W表示带辅助参数e的不可约T3-模，设Ke是关于e的Racah代数.则W上存在K e-模结构。
By a Leonard triple, we mean a triple of diagonalizable operators on a finite-dimensional vector space such that for each operator, there is an ordering of an eigenbasis for the selected operator with respect to which the other two operators are irreducible tridiagonal. Let C denote the field of complex numbers and let D denote an integer at least 3. Let 1 2 H ″(2 D+ 1, 2) denote the halved graph of the (2 D+ 1)-cube with respect to the original P-polynomial structure R 0, R 1,…, R D and another Q-polynomial structure E 0, E 2, E 4,…, E 3, E 1 in terms of the original ones. Let 1 2 H¯(4 D, 2) denote the folded halved graph of the 4D-cube and let 1 2 H¯(4 D+ 2, 2) denote the folded halved graph of the (4 D+ 2)-cube. Note that they are all distance-regular graphs of Racah type. In this paper we consider the relations between the above three graphs and the Leonard triples or the Racah algebra over C. Our results are described as follows. 1. Fix a vertex of 1 2 H ″(2 D+ 1, 2) and let T 1 denote the corresponding Terwilliger algebra with respect to this vertex. We first construct three elements U 1, U 1⁎ and U 1 ε of T 1. Then we show that the triple U 1, U 1⁎, U 1 ε acts on each irreducible T 1-module as a Leonard triple. Moreover, let K 1 be a Racah algebra with its generators and real parameters satisfying certain conditions. We display a C-algebra homomorphism from K 1 to T 1. 2. Fix a vertex of 1 2 H¯(4 D, 2) and let T 2 denote the Terwilliger algebra of 1 2 H¯(4 D, 2) with respect to this vertex. We construct three elements U 2, U 2⁎, U 2 ε of T 2 and show that the triple U 2, U 2⁎, U 2 ε not only acts on each irreducible T 2-module as a Leonard triple but also satisfies some very appealing equations. Moreover, let W denote an irreducible T 2-module with type ψ and let K ψ be a Racah algebra with respect to ψ. Then there exists a K ψ-module structure on W. 3. Fix a vertex of 1 2 H¯(4 D+ 2, 2) and let T 3 denote the Terwilliger algebra of 1 2 H¯(4 D+ 2, 2) with respect to this vertex. We construct three elements U 3, U 3⁎, U 3 ε of T 3 and show that the triple U 3, U 3⁎, U 3 ε not only acts on each irreducible T 3-module as a Leonard triple but also satisfies some very appealing equations. Moreover, let W denote an irreducible T 3-module with auxiliary parameter e and let K e be a Racah algebra with respect to e. Then there exists a K e-module structure on W.
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DOI：
10.1090/chel/356
发表时间：
1962
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--
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Paul M. Terwilliger
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--
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G. Brown
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arXiv: Combinatorics
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Chalermpong Worawannotai