The Sobolev Jordan-Schönflies problem
The Sobolev Jordan-Schönflies problem
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索博列夫乔丹-斯科恩弗利斯问题
DOI：
10.1016/j.aim.2022.108795
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Onninen, Jani
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Koski, Aleksis;Onninen, Jani
将平面单位盘D作为参考构型，将Jordan域Y作为变形构型，研究了给定边界同胚φ:∂D→作为复平面的Sobolev同胚扩展到∂Y上的问题。研究这种经典Jordan-Schönflies定理的Sobolev变体的动机是非线性弹性理论（NE）和几何函数理论（GFT）中相关纯位移变分问题的适定性。显然，边界映射φ允许w1， p-Sobolev同胚扩展的必要条件是它首先允许连续的w1， p-Sobolev扩展。然而，对于任意目标域Y，这是不够的。事实上，首先，对于每一个p<∞，我们构造一个Jordan域Y和一个同胚φ:∂D→到∂Y上，它允许一个连续的w1，p扩展，但甚至不允许一个w1,1同胚扩展。其次，对于拟磁盘目标Y和p的整个范围，证明了一个边界同胚φ:∂D→到∂Y上允许一个W loc 1， p-同胚扩展当且仅当它允许一个W 1， p-扩展到单位磁盘。准风险在GFT中一直是研究的热点。它们不允许边界上出现奇点，比如尖点。第三，对于任何幂型尖点目标，其调和扩展具有有限Dirichlet能量，但在w1,2 （D， C）中不具有同胚扩展的单位圆存在边界同胚。令人惊讶的是，Dirichlet积分（p= 2）对于Sobolev Jordan-Schönflies问题在尖端目标的情况下起着独特的作用。更进一步，我们证明了如果目标Y具有分段光滑边界p≠2，并且φ:∂D→on∂Y对D具有W 1， p- sobolev扩展，那么它在W loc 1， p （C， C）中允许对C的同纯扩展。第五，如果另外Y是拟凸的，则单侧Sobolev Jordan-Schönflies问题在p= 2时有解。事实上，我们证明了φ:∂D→到∂Y的调和扩展有一个有限的Dirichlet积分，当且仅当φ允许一个具有有限Dirichlet能量的h: D→到Y的同纯扩展。
We consider the planar unit disk D as the reference configuration and a Jordan domain Y as the deformed configuration, and study the problem of extending a given boundary homeomorphism φ:∂ D→ onto∂ Y as a Sobolev homeomorphism of the complex plane. Investigating such a Sobolev variant of the classical Jordan-Schönflies theorem is motivated by the well-posedness of the related pure displacement variational questions in the theory of Nonlinear Elasticity (NE) and Geometric Function Theory (GFT). Clearly, the necessary condition for the boundary mapping φ to admit a W 1, p-Sobolev homeomorphic extension is that it first admits a continuous W 1, p-Sobolev extension. For an arbitrary target domain Y this, however, is not sufficient. Indeed, first for each p<∞ we construct a Jordan domain Y and a homeomorphism φ:∂ D→ onto∂ Y which admits a continuous W 1, p-extension but does not even admit a W 1, 1-homeomorphic extension. Second, for a quasidisk target Y and the whole range of p, we prove that a boundary homeomorphism φ:∂ D→ onto∂ Y admits a W loc 1, p-homeomorphic extension to C if and only if it admits a W 1, p-extension to the unit disk. Quasidisks have been a subject of intensive study in GFT. They do not allow for singularities on the boundary such as cusps. Third, for any power-type cusp target there is a boundary homeomorphism from the unit circle whose harmonic extension has finite Dirichlet energy but does not have a homeomorphic extension in W 1, 2 (D, C). Surprisingly, the Dirichlet integral (p= 2) plays a unique role for the Sobolev Jordan-Schönflies Problem in the case of cusp targets. Even more, fourth we prove that if the target Y has piecewise smooth boundary, p≠ 2 and φ:∂ D→ onto∂ Y has a W 1, p-Sobolev extension to D, then it admits a homeomorphic extension to C in W loc 1, p (C, C). Fifth, if in addition Y is quasiconvex, then the one-sided Sobolev Jordan-Schönflies problem has a solution when p= 2. Indeed, we show that the harmonic extension of φ:∂ D→ onto∂ Y has a finite Dirichlet integral if and only if φ admits a homeomorphic extension h: D‾→ onto Y‾ with finite Dirichlet energy.
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