Nested dyadic grids associated with Legendre–Gauss–Lobatto grids
Nested dyadic grids associated with Legendre–Gauss–Lobatto grids
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与 LegendreâGaussâLobatto 网格关联的嵌套二进网格
DOI：
10.1007/s00211-014-0691-4
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发表时间：
2015
影响因子：
2.1
通讯作者：
Wolfgang Dahmen
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kolja Brix;Claudio Canuto;Wolfgang Dahmen
legende - gauss - lobatto （LGL）网格在偏微分方程数值解的节点谱方法中起着关键作用。它们不仅提供了有效的高阶正交规则，而且还产生了范数等价，这可能最终导致高阶方法中有效的预处理技术。不幸的是，充分利用这些概念的潜力的一个严重障碍是，不同程度的LGL网格没有嵌套。这一方面影响了辅助空间方法作为主要前置范式时对合适辅助空间的选择和分析，另一方面也影响了辅助问题的有效解决。作为中心补救措施，我们考虑某些嵌套层次结构的局部可比较的网格大小的并进网格，在某种意义上适当地与LGL网格相关联。它们的实际适用性需要对此类网格进行细致的分析，而这反过来又依赖于LGL网格的许多精细属性。本文的中心目标是推导出二阶椭圆型问题的半谱或半谱（符合或不连续伽辽金型）离散所产生的系统的相关并矢网格的主要性质，该并矢网格对不同多项式度具有完全鲁棒性。要建立这些性质，需要重新审视LGL网格及其相关网格的一些精细性质。
Legendre–Gauss–Lobatto (LGL) grids play a pivotal role in nodal spectral methods for the numerical solution of partial differential equations. They not only provide efficient high-order quadrature rules, but give also rise to norm equivalences that could eventually lead to efficient preconditioning techniques in high-order methods. Unfortunately, a serious obstruction to fully exploiting the potential of such concepts is the fact that LGL grids of different degree are not nested. This affects, on the one hand, the choice and analysis of suitableauxiliary spaces, when applying theauxiliary space methodas a principal preconditioning paradigm, and, on the other hand, the efficient solution of the auxiliary problems. As a central remedy, we consider certain nested hierarchies of dyadic grids of locally comparable mesh size, that are in a certain sense properly associated with the LGL grids. Their actual suitability requires a subtle analysis of such grids which, in turn, relies on a number of refined properties of LGL grids. The central objective of this paper is to derive the main properties of the associated dyadic grids needed for preconditioning the systems arising from- or even spectral (conforming or Discontinuous Galerkin type) discretizations for second order elliptic problems in a way that is fully robust with respect to varying polynomial degrees. To establish these properties requires revisiting some refined properties of LGL grids and their relatives.
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