Measurable Tilings by Abelian Group Actions
Measurable Tilings by Abelian Group Actions
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阿贝尔群行动的可测量平铺
DOI：
10.1093/imrn/rnad048
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发表时间：
2023
影响因子：
1
通讯作者：
Tao, Terence
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Grebík, Jan;Greenfeld, Rachel;Rozhoň, Václav;Tao, Terence
设为具有阿贝尔群的保测性的度量空间。我们考虑了由有限移位集平移的可测平铺，从而平移到零集的可测平铺的结构问题。采用前人的观点，我们建立了一个“困局引理”，它粗略地断言，它适用于一大族整数伸缩，并利用它建立了类似于第二和第四作者最近建立的这种平铺的结构定理。作为这一定理的应用，我们将有限生成的阿贝尔群的随机平铺完全归类为“iID的因子”，并证明了环面的可测平铺总是可以连续地(事实上是线性地)变形为具有有理移位的平铺，并且在低维情况下得到了特别强的结果(特别是解决了Conley，第一作者和Pikhurko在文中的一个猜想)。
Letbe a measure space with a measure-preserving actionof an abelian group. We consider the problem of understanding the structure of measurable tilingsofby a measurable tiletranslated by a finite setof shifts, thus the translates,partitionup to null sets. Adapting arguments from previous literature, we establish a “dilation lemma” that asserts, roughly speaking, thatimpliesfor a large family of integer dilations, and use this to establish a structure theorem for such tilings analogous to that established recently by the second and fourth authors. As applications of this theorem, we completely classify those random tilings of finitely generated abelian groups that are “factors of iid”, and show that measurable tilings of a toruscan always be continuously (in fact linearly) deformed into a tiling with rational shifts, with particularly strong results in the low-dimensional cases(in particular resolving a conjecture of Conley, the first author, and Pikhurko in thecase).
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