Information Theoretic Limits for Phase Retrieval With Subsampled Haar Sensing Matrices
Information Theoretic Limits for Phase Retrieval With Subsampled Haar Sensing Matrices
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子采样 Haar 传感矩阵相位检索的信息论极限
DOI：
10.1109/tit.2020.3015173
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发表时间：
2019
影响因子：
2.5
通讯作者：
A. Maleki
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Rishabh Dudeja;Junjie Ma;A. Maleki
我们研究恢复未知 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${n}$ </tex-math></inline-formula> 维复数信号向量 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${x}_{\star} $ </tex-math></inline-formula> 的信息理论极限，单位范数来自 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m}$ </tex-math></inline-formula> <inline-formula> 形式的仅幅度测量 <tex-math notation="LaTeX">${y}_{i} = |({A}{x}_{\star} )_{i}|^{2}, \; {i} = 1,2 {\dots }, {m}$ </tex-math></inline-formula>，其中 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${A}$ </tex-math></inline-formula> 是传感矩阵。这被称为相位检索问题，并对测量观测相位很困难的实际成像系统进行建模。由于在许多应用中，传感矩阵具有正交列，因此我们将传感矩阵建模为子采样 Haar 矩阵，该矩阵是通过选择均匀随机 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} \times {m}$ 的 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${n}$ </tex-math></inline-formula> 列而形成的</tex-math></inline-formula>酉矩阵。我们在高维渐近体系中研究这个问题，其中 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m},{n} \rightarrow \infty $ </tex-math></inline-formula>，而 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m}/{n} \rightarrow \delta $ </tex-math></inline-formula> 与<inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">$\delta $ </tex-math></inline-formula> 为固定数，并表明如果 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} < (2-{o}_{n}(1))\cdot {n}$ </tex-math></inline-formula>，则 <italic>any估计器</italic>渐近正交于真实信号向量<inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${x}_{\star} $ </tex-math></inline-formula>。这个下界很尖锐，因为当 <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} > (2+{o}_{n}(1)) \cdot {n} $ </tex-math></inline-formula> 时，从以前的工作中已知实现与信号向量的非平凡渐近相关的估计器。
We study information theoretic limits of recovering an unknown <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${n}$ </tex-math></inline-formula> dimensional, complex signal vector <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${x}_{\star} $ </tex-math></inline-formula> with unit norm from <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m}$ </tex-math></inline-formula> magnitude-only measurements of the form <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${y}_{i} = |({A}{x}_{\star} )_{i}|^{2}, \; {i} = 1,2 {\dots }, {m}$ </tex-math></inline-formula>, where <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${A}$ </tex-math></inline-formula> is the sensing matrix. This is known as the Phase Retrieval problem and models practical imaging systems where measuring the phase of the observations is difficult. Since in a number of applications, the sensing matrix has orthogonal columns, we model the sensing matrix as a subsampled Haar matrix formed by picking <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${n}$ </tex-math></inline-formula> columns of a uniformly random <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} \times {m}$ </tex-math></inline-formula> unitary matrix. We study this problem in the high dimensional asymptotic regime, where <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m},{n} \rightarrow \infty $ </tex-math></inline-formula>, while <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m}/{n} \rightarrow \delta $ </tex-math></inline-formula> with <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">$\delta $ </tex-math></inline-formula> being a fixed number, and show that if <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} < (2-{o}_{n}(1))\cdot {n}$ </tex-math></inline-formula>, then <italic>any estimator</italic> is asymptotically orthogonal to the true signal vector <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${x}_{\star} $ </tex-math></inline-formula>. This lower bound is sharp since when <inline-formula> <tex-math notation="LaTeX">${m} > (2+{o}_{n}(1)) \cdot {n} $ </tex-math></inline-formula>, estimators that achieve a non trivial asymptotic correlation with the signal vector are known from previous works.
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稀疏线性回归中的全有或全无现象
DOI：
--
发表时间：
2019
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--
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