Coulomb Scattering in the Massless Nelson Model III: Ground State Wave Functions and Non-commutative Recurrence Relations
Coulomb Scattering in the Massless Nelson Model III: Ground State Wave Functions and Non-commutative Recurrence Relations
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无质量尼尔森模型 III 中的库仑散射：基态波函数和非交换递推关系
DOI：
10.1007/s00023-017-0642-6
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发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
A. Pizzo
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
W. Dybalski;A. Pizzo
给出了无质量Nelson模型在总动量P和红外截止处的单电子光纤哈密顿量。我们建立了相应的n粒子基态波函数作为Pand函数的详细正则性。特别地，我们证明了\DocumentClass[12pt]{Minimum}\usepackage{amsath}\usepackage{wa ysym}\usepackage{amsFonts}\usepackage{amssymb}\usepackage{amsbsy}\usepackage{mathsfs}\usepackage{upgreek}\setlong{oddsidemargin}{-69pt}\Begin{Document}$\Begin{Align}\\|\Partial_{P^j}f^{n}_{P，\sigma}(k_1，\ldots，K_n)|，\\|\Partial_{P^j}\Partial_{P^{j‘}}f^{n}_{P，\sigma}(k_1，点，k_n)|\！\le\\frac{1}{\sqrt{n！}\frac{(c\lambda_0)^n}{\sigma^{\Delta_{\lambda_0}\prod_{i=1}^n\frac{\chi_{[\sigma，{kappa)}(K_I)}{|k_i|^{3/2}}，其中是一个数值常数，是最大允许耦合常数的正函数，它满足并且是红外和紫外光截止之间能区的(近似)特征函数。虽然一阶导数的分析相对简单，但二阶导数需要一种新的策略。通过求解一个非对易的递推关系，我们得到了一个具有改进的红外特性的新公式。在这个表述中，可以用迭代解析摄动理论在本系列论文的第二部分中得到精确的估计。正如本系列的第一部分所解释的那样，上述边界对于纳尔逊模型中的双电子散射理论是有用的。
Letbe the single-electron fiber Hamiltonians of the massless Nelson model at total momentumPand infrared cut-off. We establish detailed regularity properties of the correspondingn-particle ground state wave functionsas functions ofPand. In particular, we show that \documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$\begin{aligned} \ \ |\partial _{P^j}f^{n}_{P,\sigma }(k_1,\ldots , k_n)|, \ \ |\partial _{P^j} \partial _{P^{j'}} f^{n}_{P,\sigma }(k_1,\ldots , k_n)| \!\le \! \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{(c\lambda _0)^n}{\sigma ^{\delta _{\lambda _0}}} \prod _{i=1}^n\frac{ \chi _{[\sigma ,\kappa )}(k_i)}{|k_i|^{3/2}}, \end{aligned}$$\end{document}wherecis a numerical constant,is a positive function of the maximal admissible coupling constant which satisfiesandis the (approximate) characteristic function of the energy region between the infrared cut-offand the ultraviolet cut-off. While the analysis of the first derivative is relatively straightforward, the second derivative requires a new strategy. By solving a non-commutative recurrence relation, we derive a novel formula forwith improved infrared properties. In this representationis amenable to sharp estimates obtained by iterative analytic perturbation theory in part II of this series of papers. The bounds stated above are instrumental for scattering theory of two electrons in the Nelson model, as explained in part I of this series.
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