Zeta statistics and Hadamard functions
Zeta statistics and Hadamard functions
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Zeta 统计和 Hadamard 函数
DOI：
10.1016/j.aim.2022.108556
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发表时间：
2022
影响因子：
1.7
通讯作者：
Howe, Sean
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Bilu, Margaret;Das, Ronno;Howe, Sean
我们在有理函数的Witt环上引入Hadamard拓扑，给出了权拓扑和点计数拓扑的同时加细。有限域上代数簇的Zeta函数是有理Witt环的元素，而Hadamard拓扑允许算术和动机统计结果的几何统一：Hadamard拓扑的Witt环的完备化可以用亚纯函数空间来表示，我们称之为Hadamard函数，我们作出元猜想，任何“自然”序列的zeta函数，收敛到阿达玛函数的重量和点计数拓扑也收敛在阿达玛拓扑。对于从贝尔蒂尼问题，零周期或Batyrev-Manin猜想所产生的统计，这产生了一个明确的动机和算术统计，以前只通过类比连接现有的结果的统一。作为证据，我们证明，阿达玛收敛持有许多自然统计所产生的零周期，以及motivic高度zeta函数与motivic Batyrev-Manin问题的分裂环面品种。
We introduce the Hadamard topology on the Witt ring of rational functions, giving a simultaneous refinement of the weight and point-counting topologies. Zeta functions of algebraic varieties over finite fields are elements of the rational Witt ring, and the Hadamard topology allows for a conjectural unification of results in arithmetic and motivic statistics: The completion of the Witt ring for the Hadamard topology can be identified with a space of meromorphic functions which we call Hadamard functions, and we make the meta-conjecture that any “natural” sequence of zeta functions which converges to a Hadamard function in both the weight and point-counting topologies converges also in the Hadamard topology. For statistics arising from Bertini problems, zero-cycles or the Batyrev-Manin conjecture, this yields an explicit conjectural unification of existing results in motivic and arithmetic statistics that were previously connected only by analogy. As evidence for our conjectures, we show that Hadamard convergence holds for many natural statistics arising from zero-cycles, as well as for the motivic height zeta function associated to the motivic Batyrev-Manin problem for split toric varieties.
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