Large-Degree Asymptotics of Rational Painlevé-IV Solutions by the Isomonodromy Method
Large-Degree Asymptotics of Rational Painlevé-IV Solutions by the Isomonodromy Method
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有理 Painlevé-IV 解的等单律法的大度渐近
DOI：
10.1007/s00365-022-09586-1
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发表时间：
2022
影响因子：
2.7
通讯作者：
Miller, Peter D.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Buckingham, Robert J.;Miller, Peter D.
Painlevé-IV方程有两族有理解，分别由广义Hermite多项式和广义Okamoto多项式生成。我们应用isomonodromy方法来表示所有这些合理的解决方案，通过两个相关的Riemann-Hilbert问题，其中每一个涉及两个整数值的参数相关的两个参数的Painlevé-IV方程。然后，我们使用最速下降法来分析的合理的解决方案的限制，至少有一个参数是大的。我们的分析提供了严格的理由正式的渐近参数，这表明在一般的解决方案Painlevé-IV与大参数的行为作为一个代数函数或椭圆函数。此外，结果表明，椭圆近似在曲线矩形的并上成立，在广义Okamoto有理解的情况下，四个曲线三角形的每一个都与矩形共享一条边;代数近似在互补无界区域是有效的.我们比较理论预测的极点和零点的位置与数值图的实际极点和零点从生成多项式，并找到很好的协议。
The Painlevé-IV equation has two families of rational solutions generated, respectively, by the generalized Hermite polynomials and the generalized Okamoto polynomials. We apply the isomonodromy method to represent all of these rational solutions by means of two related Riemann–Hilbert problems, each of which involves two integer-valued parameters related to the two parameters in the Painlevé-IV equation. We then use the steepest-descent method to analyze the rational solutions in the limit that at least one of the parameters is large. Our analysis provides rigorous justification for formal asymptotic arguments that suggest that in general solutions of Painlevé-IV with large parameters behave either as an algebraic function or an elliptic function. Moreover, the results show that the elliptic approximation holds on the union of a curvilinear rectangle and, in the case of the generalized Okamoto rational solutions, four curvilinear triangles each of which shares an edge with the rectangle; the algebraic approximation is valid in the complementary unbounded domain. We compare the theoretical predictions for the locations of the poles and zeros with numerical plots of the actual poles and zeros obtained from the generating polynomials, and find excellent agreement.
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