Bipartite Hansel results for hypergraphs
Bipartite Hansel results for hypergraphs
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超图的二分 Hansel 结果
DOI：
10.1016/j.ejc.2020.103136
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发表时间：
2020
影响因子：
1
通讯作者：
Nagle, Brendan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Churchill, Gregory;Nagle, Brendan
对于n≥ k≥ 2，设V是一个n元集合，Vk表示V的所有k元子集的集合.对于不相交的A，B <$V，我们称{A，B}覆盖K∈ Vk，如果K <$A <$B且K满足A和B中的每一个，即K <$A <$0 <$$> K <$B.我们说这样的对{A，B}的集合C覆盖V k，如果V k的每个元素至少被C的一个成员覆盖。当k= 2时，这样的族被称为V的分离系，其中这个概念由Rényi（1961）引入并被许多作者研究。设h（n，k）表示∑{A，B}∈ C的最小值（|一|+|B|）在V k的所有覆盖C中。Hansel（1964）确定了界限≤ h（n，2）≤ n，Bollobás和Scott（2007）确定了h（n，2）的精确公式。我们推广这些结果，给出一个精确的公式h（n，k），并保证所有的最佳覆盖C的V k共享一个共同的度序列。我们的证明遵循了Bollobás和Scott的思路，并结合了与Motzkin和Straus（1965）类似的重心转移论证。
For integers n≥ k≥ 2, let V be an n-element set, and let V k denote the set of all k-element subsets of V. For disjoint A, B⊆ V, we say {A, B} covers K∈ V k if K⊆ A∪ ̇ B and K meets each of A and B, ie, K∩ A≠ 0̸≠ K∩ B. We say that a collection C of such pairs {A, B} covers V k if every element of V k is covered by at least one member of C. When k= 2, such a family is called a separating system of V, where this concept was introduced by Rényi (1961) and studied by many authors. Let h (n, k) denote the minimum value of∑{A, B}∈ C (| A|+| B|) among all covers C of V k. Hansel (1964) determined the bounds⌈ n log 2 n⌉≤ h (n, 2)≤ n⌈ log 2 n⌉, and Bollobás and Scott (2007) determined an exact formula for h (n, 2). We extend these results to give an exact formula for h (n, k), and to guarantee that all optimal covers C of V k share a common degree-sequence. Our proofs follow lines of Bollobás and Scott, together with weight-shifting arguments in a similar vein to some of Motzkin and Straus (1965).
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