Magnitude homology and path homology
Magnitude homology and path homology
复制标题
幅度同源性和路径同源性
DOI：
10.1112/blms.12734
复制
发表时间：
2022
影响因子：
0.9
通讯作者：
Yasuhiko Asao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Yasuhiko Asao
在本文中，我们证明了幅度同源性和路径同源性密切相关，并给出了一些应用。我们定义有向图 G$G$ 的量值同源性之间的微分 MHkℓ(G)⟶MHk−1ℓ−1(G)$\operatorname{MH}^{\ell }_k(G) \longrightarrow \operatorname{MH}^{\ell -1}_{k-1}(G)$ ，这使它们成为链复合体。然后我们证明它的同源 MHkℓ(G)$\mathcal {MH}^{\ell }_k(G)$ 在 Grigor'yan–Muranov–S.‐T 提出的“有向图同伦理论”的背景下是非平凡的和同伦不变的。丘等人。 （下文中的 G-M-Y）。值得注意的是，我们的同调 MHkk(G)$\mathcal {MH}^{k}_k(G)$ 的对角部分与 G‐M‐Ys 引入的简化路径同调 H∼k(G)$\tilde{H}_k(G)$ 同构。此外，我们构造一个谱序列，其第一页与幅度同源 MHkℓ(G)$\operatorname{MH}^{\ell }_k(G)$ 同构，第二页与我们的同源 MHkℓ(G)$\mathcal {MH}^{\ell }_k(G)$ 同构。作为一个应用，我们证明了幅度同源性的对角性意味着简化路径同源性的琐碎性。我们还证明，如果无向图 g$g$ 的任何边包含在长度为 ⩾5$\geqslant 5$ 的循环中，则对于 k⩾2$k \geqslant 2$ 和 H∼1(g)≠0$\tilde{H}_1(g) \ne 0$，H∼k(g)=0$\tilde{H}_k(g) = 0$ 。
In this article, we show that magnitude homology and path homology are closely related, and we give some applications. We define differentials MHkℓ(G)⟶MHk−1ℓ−1(G)$\operatorname{MH}^{\ell }_k(G) \longrightarrow \operatorname{MH}^{\ell -1}_{k-1}(G)$ between magnitude homologies of a digraph G$G$ , which make them chain complexes. Then we show that its homology MHkℓ(G)$\mathcal {MH}^{\ell }_k(G)$ is non‐trivial and homotopy invariant in the context of ‘homotopy theory of digraphs’ developed by Grigor'yan–Muranov–S.‐T. Yau et al. (G‐M‐Ys in the following). It is remarkable that the diagonal part of our homology MHkk(G)$\mathcal {MH}^{k}_k(G)$ is isomorphic to the reduced path homology H∼k(G)$\tilde{H}_k(G)$ also introduced by G‐M‐Ys. Further, we construct a spectral sequence whose first page is isomorphic to magnitude homology MHkℓ(G)$\operatorname{MH}^{\ell }_k(G)$ , and the second page is isomorphic to our homology MHkℓ(G)$\mathcal {MH}^{\ell }_k(G)$ . As an application, we show that the diagonality of magnitude homology implies triviality of reduced path homology. We also show that H∼k(g)=0$\tilde{H}_k(g) = 0$ for k⩾2$k \geqslant 2$ and H∼1(g)≠0$\tilde{H}_1(g) \ne 0$ if any edges of an undirected graph g$g$ is contained in a cycle of length ⩾5$\geqslant 5$ .
DOI：
--
发表时间：
2023
期刊：
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A
影响因子：
--
作者：
Yasuhiko Asao;Yasuaki Hiraoka;Shu Kanazawa
通讯作者：
Shu Kanazawa
影响因子：
0.9
作者：
Kaneta Ryuki;Yoshinaga Masahiko
通讯作者：
Yoshinaga Masahiko