A universal Hölder estimate up to dimension 4 for stable solutions to half-Laplacian semilinear equations
A universal Hölder estimate up to dimension 4 for stable solutions to half-Laplacian semilinear equations
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半拉普拉斯半线性方程稳定解的通用 Hölder 估计高达 4 维
DOI：
10.1016/j.jde.2022.02.001
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发表时间：
2022
影响因子：
2.4
通讯作者：
Cabré X
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Cabré X
本文研究了方程（-Δ）1/2 u= f（u）在Rn的有界区域上的稳定解.对于非负凸非线性项，我们证明了其稳定解在维数n≤ 4时是光滑的。这个结果只在n= 1时才知道，它来自一个新的内部Hölder估计，该估计完全独立于非线性f。在我们的证明的一个主要成分是一个新的几何形式的稳定性条件。它仍然是未知的拉普拉斯算子的其他分数，令人惊讶的是，它需要非线性的凸性。从它，我们推导出高阶Sobolev估计，使我们能够扩展Cabré，Figalli，Ros-Oton和Serra为拉普拉斯算子开发的技术。这样，除了n≤ 4时的Hölder界外，我们还得到了所有维的普适H1/2估计。我们的L∞界预期在n≤ 8时成立，但这仅在径向情况下或当f（u）= λ e u时才得到解决。对于Laplacian的其他分数，稳定解的有界性的期望最优维数只有在f（u）= λ eu时才能达到，即使在径向情况下也是如此.
We study stable solutions to the equation (− Δ) 1/2 u= f (u), posed in a bounded domain of R n. For nonnegative convex nonlinearities, we prove that stable solutions are smooth in dimensions n≤ 4. This result, which was known only for n= 1, follows from a new interior Hölder estimate that is completely independent of the nonlinearity f. A main ingredient in our proof is a new geometric form of the stability condition. It is still unknown for other fractions of the Laplacian and, surprisingly, it requires convexity of the nonlinearity. From it, we deduce higher order Sobolev estimates that allow us to extend the techniques developed by Cabré, Figalli, Ros-Oton, and Serra for the Laplacian. In this way we obtain, besides the Hölder bound for n≤ 4, a universal H 1/2 estimate in all dimensions. Our L∞ bound is expected to hold for n≤ 8, but this has been settled only in the radial case or when f (u)= λ e u. For other fractions of the Laplacian, the expected optimal dimension for boundedness of stable solutions has been reached only when f (u)= λ e u, even in the radial case.
DOI：
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发表时间：
2019
期刊：
Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A
影响因子：
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作者：
Mostafa Fazly
通讯作者：
Mostafa Fazly
分数半线性方程的稳定解：唯一性、分类和近似结果
DOI：
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发表时间：
2022
期刊：
影响因子：
--
作者：
Tomás Sanz
通讯作者：
Tomás Sanz
分数拉普拉斯半线性椭圆方程径向稳定解的正则性
DOI：
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
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作者：
Tomás Sanz
通讯作者：
Tomás Sanz