Resonance Bifurcations of Robust Heteroclinic Networks
Resonance Bifurcations of Robust Heteroclinic Networks
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鲁棒异宿网络的共振分岔
DOI：
10.1137/120864684
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发表时间：
2012
影响因子：
2.1
通讯作者：
Kirk V
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kirk V
已知鲁棒异宿周期会改变共振分叉的稳定性，共振分叉发生在系统特征值的特定比率通过1时，并且通常会导致长周期周期轨道的创建或破坏。异宿网络的共振分岔更为复杂，因为网络中不同的子环在不同的参数值下会发生共振。在这篇文章中，我们研究了两个异宿网络，并考虑在每个网络中发生的各种子循环的动力学变化的稳定性。这两种情况的区别在于网络中的一个均衡是否具有真实的或复收缩特征值。我们构造二维庞加莱返回映射，并使用这些来研究网络附近轨迹的动力学;分析的一个复杂特征是每个网络中至少有一个平衡解具有二维不稳定流形。在特征值为真实的的情况下，我们证明了当网络中的两个显著环中的一个发生共振并出现两个或六个周期轨道时，渐近稳定的网络首先失去稳定性。在某些情况下，渐近稳定的周期轨道可以从网络分叉，即使它们分叉的子循环不是渐近稳定的。在复杂的情况下，我们表明，一个无限数量的稳定和不稳定的周期轨道的共振，这些可能共存的混沌吸引子。在这两种情况下，我们表明，接近的参数值，其中个别周期通过共振，在不同的共振中创建的周期性轨道不相互作用。然而，存在进一步的谐振，对于该谐振，本征值组合是整个网络的属性，在该谐振之后，源自各个谐振的周期性轨道可以相互作用。我们用一个数值例子说明了我们的一些结果。
Robust heteroclinic cycles are known to change stability in resonance bifurcations, which occur when a certain ratio of eigenvalues of the system passes through one and which typically result in the creation or destruction of a long-period periodic orbit. Resonance bifurcations for heteroclinic networks are more complicated because different subcycles in the network can undergo resonance at different parameter values. In this article we study two heteroclinic networks inand consider the dynamics that occurs as various subcycles in each network change stability. The two cases are distinguished by whether or not one of the equilibria in the network has real or complex contracting eigenvalues. We construct two-dimensional Poincaré return maps and use these to investigate the dynamics of trajectories near the network; a complicating feature of the analysis is that at least one equilibrium solution in each network has a two-dimensional unstable manifold. In the case with real eigenvalues, we show that the asymptotically stable network loses stability first when one of two distinguished cycles in the network goes through resonance and two or six periodic orbits appear. In some circumstances, asymptotically stable periodic orbits can bifurcate from the network even though the subcycle from which they bifurcate is not asymptotically stable. In the complex case, we show that an infinite number of stable and unstable periodic orbits are created at resonance, and these may coexist with a chaotic attractor. In both cases, we show that near to the parameter values where individual cycles go through resonance, the periodic orbits created in the different resonances do not interact. However, there is a further resonance, for which the eigenvalue combination is a property of the entire network, after which the periodic orbits which originated from the individual resonances may interact. We illustrate some of our results with a numerical example.
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W. Brannath
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期刊：
影响因子：
--
作者：
R. Driesse;A. J. Homburg
通讯作者：
A. J. Homburg
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影响因子：
--
作者：
I. Melbourne
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I. Melbourne
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Tsuyoshi Chawanya;P. Ashwin
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J. Knobloch