An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for minuscule representations
An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for minuscule representations
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Berenstein-Kazhdan 装饰函数和微小表示轨迹的算法
DOI：
10.1016/j.jalgebra.2022.04.042
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发表时间：
2022
影响因子：
0.9
通讯作者：
Nakashima T. (with Kanakubo Y. and Koshevoy G.)
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
加戸瞭介;武田裕司;梅田聡;Nakashima T. (with Kanakubo Y. and Koshevoy G.)
对于单连通单代数群G，晶胞B w0−=B−∩U w0‾U是具有正结构θI−的几何晶体：(C×)L(W0)→B w0−.将热带化函子应用于有理函数ΦBKh=∑i∈iΔw0Λi，S IΛI称为B w0−上的半装饰，可以实现Z L(W0)中的晶体B(∞).通过计算ΦBKh，我们得到了B(∞)在Z-L(W0)中的一个显式。本文给出了一个显式计算Δw0Λi，S iΛi∘θi−的算法，使得V(∈i)是g=Λ(G)的极小表示。特别地，如果g是An类型的，则该算法适用于所有i∈i。该算法计算有向图DG，称为装饰图，其顶点由Δw0Λi，S iΛi∘θi−(t 1，⋯，t L(W0))中的所有单项标记。装饰图具有一些类似于极小表示的晶图的性质。我们还验证了该算法在其他一些情况下也是有效的，例如，虽然V(Λi)是非极小的，但g是G2类型。
For a simply connected connected simple algebraic group G, a cell B w 0−= B−∩ U w 0‾ U is a geometric crystal with a positive structure θ i−:(C×) l (w 0)→ B w 0−. Applying the tropicalization functor to a rational function Φ B K h=∑ i∈ I Δ w 0 Λ i, s i Λ i called the half decoration on B w 0−, one can realize the crystal B (∞) in Z l (w 0). By computing Φ B K h, we get an explicit form of B (∞) in Z l (w 0). In this paper, we give an algorithm to compute Δ w 0 Λ i, s i Λ i∘ θ i− explicitly for i∈ I such that V (Λ i) is a minuscule representation of g= Lie (G). In particular, the algorithm works for all i∈ I if g is of type A n. The algorithm computes a directed graph DG, called a decoration graph, whose vertices are labelled by all monomials in Δ w 0 Λ i, s i Λ i∘ θ i−(t 1,⋯, t l (w 0)). The decoration graph has some properties similar to crystal graphs of minuscule representations. We also verify that the algorithm works in some other cases, for example, the case g is of type G 2 though V (Λ i) is non-minuscule.
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