Fourth Order Difference Approximations for Space Riemann-Liouville Derivatives Based on Weighted and Shifted Lubich Difference Operators
Fourth Order Difference Approximations for Space Riemann-Liouville Derivatives Based on Weighted and Shifted Lubich Difference Operators
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基于加权和移位Lubich差分算子的空间Riemann-Liouville导数的四阶差分逼近
DOI：
10.4208/cicp.120713.280214a
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发表时间：
2013-06
影响因子：
3.7
通讯作者：
Deng, Weihua
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chen, Minghua;Deng, Weihua
高阶离散化方案在分数算子中比经典离散化方案发挥更大的作用。这是因为对于经典导数，高阶离散化方案的模板通常比低阶离散化方案宽；但是对于分数运算符，高阶格式和低阶格式的模板是相同的。然后用高阶格式求解分数阶方程，计算量与一阶格式几乎相同，但精度大大提高。利用分数阶线性多步方法，Lubich得到了α -阶导数（α > 0）或积分（α 0）的v阶（v6）近似[j]。分析的。[j]，由于稳定性问题，所得到的格式不能直接应用于具有α Є（1,2）的时间相关问题的空间分数算子。通过对Lubich二阶离散化方案进行加权和移位，在[Chen & Deng， SINUM, arXiv:1304.7425]中，我们导出了一系列有效的空间分数阶导数的高阶离散化，在那里称为WSLD算子。作为前一工作的延续，我们进一步通过加权和移位Lubich的三阶和四阶离散化提供了新的空间分数阶导数的高阶格式。特别地，我们证明了所得到的四阶近似对于空间分数阶导数是有效的。并采用相应的格式求解变系数空间分数阶扩散方程。
High order discretization schemes play more important role in fractional operators than classical ones. This is because usually for classical derivatives the stencil for high order discretization schemes is wider than low order ones; but for fractional operators the stencils for high order schemes and low order ones are the same. Then using high order schemes to solve fractional equations leads to almost the same computational cost with first order schemes but the accuracy is greatly improved. Using the fractional linear multistep methods, Lubich obtains the v -th order ( v 6) approximations of the α -th derivative ( α > 0) or integral ( α 0) [Lubich, SIAM J. Math. Anal., 17, 704-719, 1986], because of the stability issue the obtained scheme can not be directly applied to the space fractional operator with α Є (1,2) for time dependent problem. By weighting and shifting Lubich’s 2nd order discretization scheme, in [Chen & Deng, SINUM, arXiv:1304.7425] we derive a series of effective high order discretizations for space fractional derivative, called WSLD operators there. As the sequel of the previous work, we further provide new high order schemes for space fractional derivatives by weighting and shifting Lubich’s 3rd and 4th order discretizations. In particular, we prove that the obtained 4th order approximations are effective for space fractional derivatives. And the corresponding schemes are used to solve the space fractional diffusion equation with variable coefficients.
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S. Samko;A. Kilbas;O. Marichev
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