Configuration spaces of disks in an infinite strip
Configuration spaces of disks in an infinite strip
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无限带状磁盘配置空间
DOI：
10.1007/s41468-021-00070-6
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发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
MacPherson, Robert
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Alpert, Hannah;Kahle, Matthew;MacPherson, Robert
我们研究了单位直径n硬盘在宽度w无限条中的配置空间的拓扑。我们描述参数或“机制”的范围，其中同源性以不同的方式表现。我们证明，如果，则同构同构于平面上点的配置空间的同构。的 Betti 数由 Arnold 计算（彩色辫群的上同调环。Springer Berlin，第 183-186 页，2014），因此作为同构的推论，是一个 2j 次多项式。另一方面，我们证明如果，那么n 随n 呈指数增长。我们的大部分工作都是在这个制度下仔细估计。我们还说明了，对于每个 n，（w，j）平面中的同调“相图”——同调是平凡的、非平凡的和同构的参数值。受硬球系统相变概念的启发，我们将其讨论为“同源固体、液体和气体”状态。
We study the topology of the configuration spacesofnhard disks of unit diameter in an infinite strip of widthw. We describe ranges of parameter or “regimes”, where homologybehaves in qualitatively different ways. We show that if, then the homologyis isomorphic to the homology of the configuration space of points in the plane,. The Betti numbers ofwere computed by Arnold (The cohomology ring of the colored braid group. Springer Berlin, pp 183–186, 2014), and so as a corollary of the isomorphism,is a polynomial innof degree 2j. On the other hand, we show that if, thengrows exponentially withn. Most of our work is in carefully estimatingin this regime. We also illustrate, for everyn, the homological “phase portrait” in the (w,j)-plane—the parameter values where homologyis trivial, nontrivial, and isomorphic with. Motivated by the notion of phase transitions for hard-spheres systems, we discuss these as the “homological solid, liquid, and gas” regimes.
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