Symplectically convex and symplectically star-shaped curves: a variational problem
Symplectically convex and symplectically star-shaped curves: a variational problem
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辛凸曲线和辛星形曲线：变分问题
DOI：
10.1007/s11784-022-00931-2
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发表时间：
2022
影响因子：
1.8
通讯作者：
Tabachnikov, Serge
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Albers, Peter;Tabachnikov, Serge
在这篇文章中，我们把二维凸性的概念推广到辛向量空间。我们称这样的曲线为辛凸的星形曲线。在给出一些基本结果之后，我们研究了一类由仿射等周不等式引起的辛凸和辛星形曲线的变分问题。这些变分问题可以归结为二维问题。对于一系列的族参数，变分问题的极值点是刚性的：它们是多次遍历的二次曲线。对于所有的族参数，我们确定了二次曲线何时存在非平凡的一阶和二阶变形。在最后一节中，我们提出了一些猜测和问题，以及在Gil Bor的数学小程序的帮助下创建的两个图库。
In this article, we propose a generalization of the 2-dimensional notions of convexity resp. being star-shaped to symplectic vector spaces. We call such curves symplectically convex resp. symplectically star-shaped. After presenting some basic results, we study a family of variational problems for symplectically convex and symplectically star-shaped curves which is motivated by the affine isoperimetric inequality. These variational problems can be reduced back to two dimensions. For a range of the family parameter, extremal points of the variational problem are rigid: they are multiply traversed conics. For all family parameters, we determine when non-trivial first- and second-order deformations of conics exist. In the last section, we present some conjectures and questions and two galleries created with the help of a Mathematica applet by Gil Bor.
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