A proof of the peak polynomial positivity conjecture
A proof of the peak polynomial positivity conjecture
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峰值多项式正性猜想的证明
DOI：
10.1016/j.jcta.2017.01.004
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Omar, Mohamed
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Diaz-Lopez, Alexander;Harris, Pamela E.;Insko, Erik;Omar, Mohamed
我们说，如果π i−1< π i> π i+ 1，则排列π= π 1 π 2， π n∈sn在索引i处有峰值。设P （π）表示π有峰值的指标集。给定一个正整数集S，定义P (S; n)={π∈S n: P (π)= S}。2013年Billey， burzy和Sagan证明了对于正整数S和足够大的n的子集，| P (S; n)|= P S (n) 2n - | S| - 1，其中P S (x)是一个依赖于S的多项式。他们通过建立一个涉及交替和的P S (x)递推公式证明了这一点，并且他们推测P S (x)在以max (S)为中心的二项式系数基中展开的系数都是非负的。本文给出了| P (S; n)|无交替和的一个新的递推公式，并用这个递推证明了它们的猜想是成立的。
We say that a permutation π= π 1 π 2⋯ π n∈ S n has a peak at index i if π i− 1< π i> π i+ 1. Let P (π) denote the set of indices where π has a peak. Given a set S of positive integers, we define P (S; n)={π∈ S n: P (π)= S}. In 2013 Billey, Burdzy, and Sagan showed that for subsets of positive integers S and sufficiently large n,| P (S; n)|= p S (n) 2 n−| S|− 1 where p S (x) is a polynomial depending on S. They proved this by establishing a recursive formula for p S (x) involving an alternating sum, and they conjectured that the coefficients of p S (x) expanded in a binomial coefficient basis centered at max(S) are all nonnegative. In this paper we introduce a new recursive formula for| P (S; n)| without alternating sums and we use this recursion to prove that their conjecture is true.
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