Uniqueness of solutions of the KdV-hierarchy via Dubrovin-type flows
Uniqueness of solutions of the KdV-hierarchy via Dubrovin-type flows
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通过 Dubrovin 型流实现 KdV 层次结构解的唯一性
DOI：
10.1016/j.jfa.2020.108705
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发表时间：
2020
影响因子：
1.7
通讯作者：
Young, Giorgio
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Lukić, Milivoje;Young, Giorgio
我们考虑柯西问题的KdV族-一个家庭的可积偏微分方程的Lax对表示涉及一维薛定谔算子-在当地的时间有界性假设的解决方案。对于无反射的初始数据，我们证明了解决方案保持无反射。对于谱绝对连续的概周期初值，证明了在谱上的Craig型条件下，Dirichlet初值按Lipschitz Dubrovin型流演化，从而解由迹公式唯一恢复.这适用于代数几何（有限间隙）的解决方案，更值得注意的是，我们证明了它适用于小准周期的初始数据与分析采样函数和丢番图频率。这也给出了一个唯一性结果的柯西问题的线上的周期性的初始数据，即使在没有克雷格型条件。
We consider the Cauchy problem for the KdV hierarchy – a family of integrable PDEs with a Lax pair representation involving one-dimensional Schrödinger operators – under a local in time boundedness assumption on the solution. For reflectionless initial data, we prove that the solution stays reflectionless. For almost periodic initial data with absolutely continuous spectrum, we prove that under Craig-type conditions on the spectrum, Dirichlet data evolve according to a Lipschitz Dubrovin-type flow, so the solution is uniquely recovered by a trace formula. This applies to algebro-geometric (finite gap) solutions; more notably, we prove that it applies to small quasiperiodic initial data with analytic sampling functions and Diophantine frequency. This also gives a uniqueness result for the Cauchy problem on the line for periodic initial data, even in the absence of Craig-type conditions.
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