On the ℓ∞-norms of the singular vectors of arbitrary powers of a difference matrix with applications to sigma-delta quantization
On the ℓ∞-norms of the singular vectors of arbitrary powers of a difference matrix with applications to sigma-delta quantization
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关于差分矩阵任意次幂的奇异向量的-范数及其在 sigma-delta 量化中的应用
DOI：
10.1016/j.laa.2021.05.015
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发表时间：
2021
影响因子：
1.1
通讯作者：
Wang, Rongrong
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Faust, Theodore;Iwen, Mark;Saab, Rayan;Wang, Rongrong
抽象的令A = max：= max i，j| A i，j|表示给定矩阵A的元素的最大幅度。本文证明了max <${<$U r <$max，<$V r <$max}≤（Cr）6 r N，其中U r和V r分别是r阶有限差分矩阵Dr的左、右奇异向量的矩阵，r≥ 2，D是N× N有限差分矩阵，对角线上为1，次对角线上为-1，其它地方为0.这里C是一个与N和r都无关的普适常数。除此之外，这确立了这样的有限差分矩阵的右奇异向量和左奇异向量都是有界正交系统（BOS），其BOS常数具有已知的上界，这是经典压缩感测理论中普遍感兴趣的对象。更具体地，这样的有限差分矩阵对于标准的r阶Sigma-Delta量化方案也是基本的，并且因此，本文提供的关于它们的归一化奇异向量的最大范数的新界限允许推广和改进若干先前的Sigma-Delta量化结果。
Abstract Let‖ A‖ max:= max i, j| A i, j| denote the maximum magnitude of entries of a given matrix A. In this paper we show that max{‖ U r‖ max,‖ V r‖ max}≤(C r) 6 r N, where U r and V r are the matrices whose columns are, respectively, the left and right singular vectors of the r-th order finite difference matrix D r with r≥ 2, and where D is the N× N finite difference matrix with 1 on the diagonal,− 1 on the sub-diagonal, and 0 elsewhere. Here C is a universal constant that is independent of both N and r. Among other things, this establishes that both the right and left singular vectors of such finite difference matrices are Bounded Orthonormal Systems (BOSs) with known upper bounds on their BOS constants, objects of general interest in classical compressive sensing theory. Such finite difference matrices are also fundamental to standard r th order Sigma-Delta quantization schemes more specifically, and as a result the new bounds provided herein on the maximum ℓ∞-norms of their ℓ 2-normalized singular vectors allow for several previous Sigma-Delta quantization results to be generalized and improved.
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