Non-Autonomous Maximal Regularity for Forms of Bounded Variation
Non-Autonomous Maximal Regularity for Forms of Bounded Variation
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有界变分形式的非自治最大正则
DOI：
10.1016/j.jmaa.2014.12.006
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Dominik Dier
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Dominik Dier
我们考虑一个非自治进化问题u ‘ (t)+ a (t) u (t)= f (t), u (0)= u 0，其中V， H是希尔伯特空间，使得V连续且密集地嵌入在H中，并且算子a (t): V→V ’与一个强制、有界、对称的形式a (t,.,.): vx V→C相关联，对于所有t∈[0，t]。给定f∈l2 (0， T； H)， u 0∈V总存在一个唯一解u∈MR (V, V ') = l2 (0， T； V)∩h1 （0， T; V '）。本文的目的是研究u∈h1 （0， T； H）。H中最大正则性的这个性质一般是不知道的。如果形式是有界变分，我们给出一个肯定的答案；即存在一个有界非递减函数g:[0， T]→R，使得| a (T, v, w)−a (s, v, w)|≤[g (T)−g (s)]‖v‖v‖w‖v（0≤s≤T≤T, v, w∈v）。在这种情况下，我们也证明了u（.）是连续的，并且我们将这个结果推广到A (t)的某些摄动。
We consider a non-autonomous evolutionary problem u′(t)+ A (t) u (t)= f (t), u (0)= u 0, where V, H are Hilbert spaces such that V is continuously and densely embedded in H and the operator A (t): V→ V′ is associated with a coercive, bounded, symmetric form a (t,.,.): V× V→ C for all t∈[0, T]. Given f∈ L 2 (0, T; H), u 0∈ V there exists always a unique solution u∈ MR (V, V′):= L 2 (0, T; V)∩ H 1 (0, T; V′). The purpose of this article is to investigate whether u∈ H 1 (0, T; H). This property of maximal regularity in H is not known in general. We give a positive answer if the form is of bounded variation; ie, if there exists a bounded and non-decreasing function g:[0, T]→ R such that| a (t, v, w)− a (s, v, w)|≤[g (t)− g (s)]‖ v‖ V‖ w‖ V (0≤ s≤ t≤ T, v, w∈ V). In that case, we also show that u (.) is continuous with values in V. Moreover we extend this result to certain perturbations of A (t).
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