Topology of real multi-affine hypersurfaces and a homological stability property
Topology of real multi-affine hypersurfaces and a homological stability property
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真实多重仿射超曲面的拓扑及其同调稳定性
DOI：
10.1016/j.aim.2023.108982
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发表时间：
2023
影响因子：
1.7
通讯作者：
Perrucci, Daniel
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Basu, Saugata;Perrucci, Daniel
设R是一个真实的闭域。证明了由d次多仿射多项式定义的Rn中真实的超曲面的半代数连通分支的个数有界于2 d− 1。这个界是尖锐的，并且与n无关（与由Petrovskikov和Oleavnik，Thom和Milnor在R n中任意d次多项式定义的超曲面的贝蒂数上的d（2 d− 1）n− 1的经典界相反）。证明了存在c> 1，使得给定序列（B）n> 0，其中B是Rn中正半径的闭球，存在由4次对称多仿射多项式定义的超曲面（Vn <$Rn）n> 0，使得∑ i <B（Vn <$B）> cn，其中B（n）表示第i个有理系数Betti数.最后，作为本文主要结果的应用，我们验证了Basu和Riener关于对称真实的代数集的上同调模的一个表示稳定性猜想，该猜想是关于一类新的且比以前已知的大得多的对称真实的代数集的.
Let R be a real closed field. We prove that the number of semi-algebraically connected components of a real hypersurface in R n defined by a multi-affine polynomial of degree d is bounded by 2 d− 1. This bound is sharp and is independent of n (as opposed to the classical bound of d (2 d− 1) n− 1 on the Betti numbers of hypersurfaces defined by arbitrary polynomials of degree d in R n due to Petrovskiĭ and Oleĭnik, Thom and Milnor). Moreover, we show there exists c> 1, such that given a sequence (B n) n> 0 where B n is a closed ball in R n of positive radius, there exist hypersurfaces (V n⊂ R n) n> 0 defined by symmetric multi-affine polynomials of degree 4, such that∑ i⩽ 5 b i (V n∩ B n)> c n, where b i (⋅) denotes the i-th Betti number with rational coefficients. Finally, as an application of the main result of the paper we verify a representational stability conjecture due to Basu and Riener on the cohomology modules of symmetric real algebraic sets for a new and much larger class of symmetric real algebraic sets than known before.
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