Harmonic and anharmonic oscillators on the Heisenberg group
Harmonic and anharmonic oscillators on the Heisenberg group
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海森堡群的谐波和非谐波振荡器
DOI：
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发表时间：
2018
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Michael Ruzhansky
中科院分区：
文献类型：
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作者：
David Rottensteiner;Michael Ruzhansky
在本文中，我们提出了海森堡群H n上的谐振子的概念，在一些合理的假设下，它形成了[公式：见文本]上谐振子的自然模拟：H n上的算子的负平方和，它本质上是L2（H n）上的自伴随，具有纯离散谱，其特征向量是形成L2（H n）的正交基的Schwartz函数。所讨论的微分算子是由Dynin-Folland群（一个分层幂零李群）和它的一般酉不可约表示决定的，它们自然作用于L2（H n）。和欧几里得的情况一样，我们在H n上的谐振子的概念扩展到了所谓的非谐振子的整个类别，它包括左不变导数和大于或等于2阶的多项式势。这些算子具有与谐振子相似的性质，它们与Dynin-Folland群上的正Rockland算子呈一一对应关系。本文的后半部分是关于谱乘法器的。我们得到了一大类子拉普拉斯谱乘子的L p- L q估计[公式：见文本]，事实上，也得到了梯度群上的一般Rockland算子的L p- L q估计。在1 < p≤2≤q <∞条件下，我们得到了显式的次椭圆热半群估计，并恢复了梯度群上的连续Sobolev嵌入。
In this article, we present a notion of the harmonic oscillator on the Heisenberg group H n, which, under a few reasonable assumptions, forms the natural analog of a harmonic oscillator on [Formula: see text]: a negative sum of squares of operators on H n, which is essentially self-adjoint on L2(H n) with purely discrete spectrum and whose eigenvectors are Schwartz functions forming an orthonormal basis of L2(H n). The differential operator in question is determined by the Dynin–Folland group—a stratified nilpotent Lie group—and its generic unitary irreducible representations, which naturally act on L2(H n). As in the Euclidean case, our notion of harmonic oscillator on H n extends to a whole class of so-called anharmonic oscillators, which involve left-invariant derivatives and polynomial potentials of order greater or equal 2. These operators, which enjoy similar properties as the harmonic oscillator, are in one-to-one correspondence with positive Rockland operators on the Dynin–Folland group. The latter part of this article is concerned with spectral multipliers. We obtain useful L p- L q-estimates for a large class of spectral multipliers of the sub-Laplacian [Formula: see text] and, in fact, of generic Rockland operators on graded groups. As a by-product, we obtain explicit hypoelliptic heat semigroup estimates and recover the continuous Sobolev embeddings on graded groups, provided 1 < p ≤ 2 ≤ q < ∞.
局部紧群上的 L-L 乘子
影响因子：
1.7
作者：
Akylzhanov R
通讯作者：
Akylzhanov R