Counting Function Fluctuations and Extreme Value Threshold in Multifractal Patterns: The Case Study of an Ideal 1/f Noise
Counting Function Fluctuations and Extreme Value Threshold in Multifractal Patterns: The Case Study of an Ideal 1/f Noise
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计算多重分形模式中的函数波动和极值阈值：理想 1/f 噪声的案例研究
DOI：
10.1007/s10955-012-0623-6
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发表时间：
2012
影响因子：
1.6
通讯作者：
Fyodorov Y
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Fyodorov Y
出于研究样本到样本的波动在无序产生的多重分形图案的一般问题，我们试图调查分析以及数值的最简单的模型的理想周期1/fGaussian噪声的高值的统计。我们的主要目标是一个水平以上的点数，Vm = 2lnM代表M点样本的绝对最大值的首阶典型值。通过热力学形式主义，我们预测的特征标度和精确的标度形式的分布0<x<2。我们表明，幂律前尾的概率密度，指数控制的levelx，结果在一个重要的差异之间的平均值和典型值。这可以进一步用于确定模式中极值的典型阈值xm，其结果是由给出。这样的观察结果为强迫症普遍性背后的机制提供了一个相当令人信服的解释。揭示的机制，保留其定性的有效性，广泛的一类无序产生的多重分形领域。特别地，我们预测强度的最大值pmax的典型值为$-\ln p_{\mathit{max}}=\alpha_{-}\ln M +\frac{3}{2f '（\alpha_{-}）}\ln\ln M+O（1）$，其中f（α）是对应的奇异谱，在区间α∈（α−，α+）中为正，在α=α−>0处为零。对于1/fnoise的情况下，我们进一步研究的计数函数的时刻的标度律的前因子的渐近值。然而，我们的数值计算表明，即使在中等精度下，也需要非常大的样本量才能达到这样的渐近性。这促使我们推导出精确的以及控制良好的近似公式的平均值和方差的计数功能，而不求助于热力学形式主义。
Motivated by the general problem of studying sample-to-sample fluctuations in disorder-generated multifractal patterns we attempt to investigate analytically as well as numerically the statistics of high values of the simplest model—the ideal periodic 1/fGaussian noise. Our main object of interest is the number of pointsabove a level, withVm=2lnMstanding for the leading-order typical value of the absolute maximum for the sample ofMpoints. By employing the thermodynamic formalism we predict the characteristic scale and the precise scaling form of the distribution offor 0<x<2. We demonstrate that the powerlaw forward tail of the probability density, with exponent controlled by the levelx, results in an important difference between the mean and the typical values of. This can be further used to determine the typical thresholdxmof extreme values in the pattern which turns out to be given bywith. Such observation provides a rather compelling explanation of the mechanism behind universality ofc. Revealed mechanisms are conjectured to retain their qualitative validity for a broad class of disorder-generated multifractal fields. In particular, we predict that the typical value of the maximumpmaxof intensity is to be given by $-\ln p_{\mathit{max}}=\alpha_{-}\ln M +\frac{3}{2f'(\alpha_{-})}\ln\ln M+O(1)$, wheref(α) is the corresponding singularity spectrum positive in the intervalα∈(α−,α+) and vanishing atα=α−>0. For the 1/fnoise case we further study asymptotic values of the prefactors in scaling laws for the moments of the counting function. Our numerics shows however that one needs prohibitively large sample sizes to reach such asymptotics even with a moderate precision. This motivates us to derive exact as well as well-controlled approximate formulas for the mean and the variance of the counting function without recourse to the thermodynamic formalism.
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