Percolation on Triangulations: A Bijective Path to Liouville Quantum Gravity
Percolation on Triangulations: A Bijective Path to Liouville Quantum Gravity
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三角测量的渗透：通往刘维尔量子引力的双射路径
DOI：
10.1090/memo/1440
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发表时间：
2018
影响因子：
1.9
通讯作者：
Xin Sun
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
O. Bernardi;N. Holden;Xin Sun
我们为一系列旨在证明均匀随机平面映射和刘维尔量子引力（LQG）之间强关系的工作奠定了基础。我们的方法依赖于一个双射编码的网站，由某些二维晶格路径的平面三角剖分。我们的双射平行于离散设置的LQG和Schramm-Loewner进化（SLE）的配对树框架介绍了Duplantier，米勒，和谢菲尔德。结合这两个对应关系，使我们能够将统一的站点定位三角测量与
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\sqrt {8/3}
-LQG和SLE
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.特别地，我们建立了渗流模型的几个泛函到定义为
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\sqrt {8/3}
-LQG和SLE
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.例如，我们证明了渗流的探索树收敛于分支SLE
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，并且渗透循环的集合收敛于共形循环系综CLE
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.我们还证明了计数测度在渗流的关键点上的收敛性。我们的结果在其他几个作品中发挥了重要作用，包括一个程序，显示收敛的一致三角剖分的共形结构和工程研究的行为，随机行走的均匀无限平面三角剖分。
We set the foundation for a series of works aimed at proving strong relations between uniform random planar maps and Liouville quantum gravity (LQG). Our method relies on a bijective encoding of site-percolated planar triangulations by certain 2D lattice paths. Our bijection parallels in the discrete setting the mating-of-trees framework of LQG and Schramm-Loewner evolutions (SLE) introduced by Duplantier, Miller, and Sheffield. Combining these two correspondences allows us to relate uniform site-percolated triangulations to
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-LQG and SLE
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. In particular, we establish the convergence of several functionals of the percolation model to continuous random objects defined in terms of
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\sqrt {8/3}
-LQG and SLE
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. For instance, we show that the exploration tree of the percolation converges to a branching SLE
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, and that the collection of percolation cycles converges to the conformal loop ensemble CLE
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. We also prove convergence of counting measure on the pivotal points of the percolation. Our results play an essential role in several other works, including a program for showing convergence of the conformal structure of uniform triangulations and works which study the behavior of random walk on the uniform infinite planar triangulation.
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