Vanishing cycles for non-archimedean analytic spaces
Vanishing cycles for non-archimedean analytic spaces
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非阿基米德解析空间的消失循环
DOI：
10.1090/s0894-0347-96-00214-7
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发表时间：
1996
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
V. Berkovich
中科院分区：
文献类型：
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作者：
V. Berkovich
在这项工作中，我们为非阿基米德分析空间开发了一种消失循环的形式主义，它类似于[SGA7]中的复杂分析空间，Exp。十四。作为一个应用，我们证明在等特征情况下，方案 X 在闭点 x E X 处的消失循环滑轮的茎仅取决于 X 在 x 处的形式完成 Spf(Ox,,)。特别是，任何连续同态 OX,x -+ y,y 都会导致从 X 在 x 处的消失循环滑轮的茎到 Y 在 y 处的消失循环滑轮的茎的同态。此外，我们证明，给定 Ox,x 和 O y, ，存在 n > 1，使得对于任何一对连续同态 OX,x -Oy,y 与 Oy,y 最大理想的 n 次方重合，消失循环滑轮的茎之间的诱导同态重合。这些事实概括了 [Lau] 的 G. Laumon 的结果（见备注 7.6）。在整篇论文中，我们修复了一个非阿基米德场 k（其估值不被认为是不平凡的）。在 ?1 中，我们研究了 k 解析空间上的 etale Galois 滑轮。为了定义消失循环函子并使用它，我们使用支持分析空间的语言，即分析空间类别的支持对象（[SGA4]，Exp. I）。此类对象的例子是分析空间的萌芽，如 [Ber2], ?3.4 中所示。 ?3 中考虑了另一个例子。在?4中，我们定义了消失循环函子并建立了它的基本属性。在 ?5 中，我们证明消失循环滑轮对于平滑态射来说是微不足道的。在?6中我们证明了消失环的比较定理。该定理比 [SGA7]、Exp. 中的 C 模拟更普遍。 XIV，其证明没有使用 Hironaka 的奇点解决定理。在α7中，我们应用比较定理来证明上述方案的消失循环滑轮的性质。值得注意的是，该应用是通过在具有微不足道的估值的域上考虑非阿基米德解析几何而获得的。与 [Ber3] 一样，这项工作源于 P. Deligne 的建议，将 [Ber2] 中的 etale 上同调理论应用到方案的消失循环束的研究中。我非常感谢他就该主题进行了有益的讨论。我也
In this work we develop a formalism of vanishing cycles for non-Archimedean analytic spaces which is an analog of that for complex analytic spaces from [SGA7], Exp. XIV. As an application we prove that in the equicharacteristic case the stalks of the vanishing cycles sheaves of a scheme X at a closed point x E X, depend only on the formal completion Spf(Ox,,) of X at x. In particular, any continuous homomorphism OX,x -+ y,y induces a homorphism from the stalks of the vanishing cycles sheaves of X at x to those of Y at y. Furthermore, we prove that, given Ox,x and O y, , there exists n > 1 such that, for any pair of continuous homomorphisms OX,x -Oy,y that coincide modulo the n-th power of the maximal ideal of Oy,y, the induced homomorphisms between the stalks of the vanishing cycles sheaves coincide. These facts generalize a result of G. Laumon from [Lau] (see Remark 7.6). Throughout the paper we fix a non-Archimedean field k (whose valuation is not assumed to be nontrivial). In ?1 we study etale Galois sheaves on k-analytic spaces. To define the vanishing cycles functor and to work with it, we use the language of pro-analytic spaces, i.e., pro-objects of the category of analytic spaces ([SGA4], Exp. I). Examples of such objects are the germs of analytic spaces as in [Ber2], ?3.4. Another example is considered in ?3. In ?4 we define the vanishing cycles functor and establish its basic properties. In ?5 we show that the vanishing cycles sheaves are trivial for smooth morphisms. In ?6 we prove a comparison theorem for vanishing cycles. This theorem is more general than its analog over C from [SGA7], Exp. XIV, and its proof does not use Hironaka's theorem on resolution of singularities. In ?7 we apply the comparison theorem to prove the properties of the vanishing cycles sheaves of schemes formulated above. It is worthwhile to note that this application is obtained by considering non-Archimedean analytic geometry over fields with trivial valuation. Like [Ber3], this work arose from a suggestion of P. Deligne to apply the etale cohomology theory from [Ber2] to the study of the vanishing cycles sheaves of schemes. I am very grateful to him for useful discussions on the subject. I also
DOI：
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发表时间：
1984
期刊：
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影响因子：
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作者：
M. Wodzicki
通讯作者：
M. Wodzicki