A Monte Carlo Method for Integration of Multivariate Smooth Functions
A Monte Carlo Method for Integration of Multivariate Smooth Functions
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多元平滑函数积分的蒙特卡罗方法
DOI：
--
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发表时间：
2016
影响因子：
2.9
通讯作者：
Mario Ullrich
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Mario Ullrich
我们研究基于特定（随机移动和扩张）晶格集的蒙特卡洛算法。本文的主要结果是，给定的紧凑型，正方形的函数的均衡误差由$ n^{ - 1/2} $限制原点，其中$ n $是函数评估的预期数量。作为推论，我们获得了sobolev空间的收敛顺序$ h^s_p $，以及各向同性，各向异性或混合平滑度，用于所有参数的值。特别是证明，在后一种情况下，最佳的收敛顺序为$ n^{ - s-1/2} $对于$ pge2 $，与确定性算法相比，这与确定性算法相反，与维度无关。这表明，对于整个实际重要的功能类别，蒙特卡洛算法可以将顺序提高$ n^{ - 1/2} $。所有结果都将其持续到在单位立方体上定义的无边界条件上定义的功能。
We study a Monte Carlo algorithm that is based on a specific (randomly shifted and dilated) lattice point set. The main result of this paper is that the mean squared error for a given compactly supported, square-integrable function is bounded by $n^{-1/2}$ times the $L_2$-norm of the Fourier transform outside a region around the origin, where $n$ is the expected number of function evaluations. As corollaries we obtain the order of convergence for the Sobolev spaces $H^s_p$ with isotropic, anisotropic or mixed smoothness for all values of the parameters. This proves, in particular, that the optimal order of convergence in the latter case is $n^{-s-1/2}$ for $pge2$, which is, in contrast to the case of deterministic algorithms, independent of the dimension. This shows that Monte Carlo algorithms can improve the order by more than $n^{-1/2}$ for a whole class of practically important function classes. All results carry over to functions defined on the unit cube without boundary conditions.
有界混合导数函数的 Frolov 体积公式的作用
DOI：
10.1137/15m1014814
发表时间：
2016
期刊：
SIAM J. Numer. Anal.
影响因子：
--
作者：
M. Ullrich;T. Ullrich
通讯作者：
T. Ullrich
DOI：
10.1007/978-3-319-92240-9
发表时间：
2018
期刊：
arXiv: Numerical Analysis
影响因子：
--
作者：
D. Dũng;V.N. Temlyakov;T. Ullrich
通讯作者：
T. Ullrich