Monotone Sobolev Functions in Planar Domains: Level Sets and Smooth Approximation
Monotone Sobolev Functions in Planar Domains: Level Sets and Smooth Approximation
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平面域中的单调 Sobolev 函数：水平集和平滑逼近
DOI：
10.1007/s00205-020-01563-x
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发表时间：
2020
影响因子：
2.5
通讯作者：
Ntalampekos, Dimitrios
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Ntalampekos, Dimitrios
我们证明了几乎每一个水平集的Sobolev函数在一个平面区域由点，约旦曲线，或同胚副本的一个区间。对于平面上的单调Sobolev函数，我们得到了几乎每一个水平集都是平面的嵌入一维拓扑子流形的更强的结论。这里的单调性是在勒贝格的意义：最大值和最小值的功能在一个开放的集合达到的边界。我们的结果是一个模拟的Sard定理，它断言，在一个平面域的光滑函数几乎每个值是一个正常的值。作为应用，利用p-调和函数理论，证明了平面区域上的单调Sobolev函数可以用光滑单调函数在Sobolev范数下一致逼近.
We prove that almost every level set of a Sobolev function in a planar domain consists of points, Jordan curves, or homeomorphic copies of an interval. For monotone Sobolev functions in the plane we have the stronger conclusion that almost every level set is an embedded 1-dimensional topological submanifold of the plane. Here monotonicity is in the sense of Lebesgue: the maximum and minimum of the function in an open set are attained at the boundary. Our result is an analog of Sard’s theorem, which asserts that for a-smooth function in a planar domain almost every value is a regular value. As an application, using the theory ofp-harmonic functions, we show that monotone Sobolev functions in planar domains can be approximated uniformly and in the Sobolev norm by smooth monotone functions.
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