Determinacy from strong compactness of ω1
Determinacy from strong compactness of ω1
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来自 Ï1 的强紧致性的确定性
DOI：
10.1016/j.apal.2021.102944
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发表时间：
2021
影响因子：
0.8
通讯作者：
Wilson, Trevor
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Trang, Nam;Wilson, Trevor
在没有选择公理的情况下，“小”基数ω 1可以表现出通常与大基数相关的性质，例如强紧性和超紧性。对于强紧性的局部形式，我们说ω 1是X-强紧的（其中X是任何集合），如果在ω 1（X）上存在精细的可数完备测度。在ZF+ DC中，我们证明了ω 1的ω（ω 1）-强紧性和ω（R）-强紧性分别与AD和AD R+ DC等相容，其中AD表示决定性公理，AD R表示真实的决定性公理.证明了ω 1的π（R）-超紧性比AD R+ DC稍强，但它的相容性强度没有精确计算.在没有DC的情况下，在AD-R水平上也得到了一个等一致的结果.
In the absence of the Axiom of Choice, the “small” cardinal ω 1 can exhibit properties more usually associated with large cardinals, such as strong compactness and supercompactness. For a local version of strong compactness, we say that ω 1 is X-strongly compact (where X is any set) if there is a fine, countably complete measure on℘ ω 1 (X). Working in ZF+ DC, we prove that the℘(ω 1)-strong compactness and℘(R)-strong compactness of ω 1 are equiconsistent with AD and AD R+ DC respectively, where AD denotes the Axiom of Determinacy and AD R denotes the Axiom of Real Determinacy. The℘(R)-supercompactness of ω 1 is shown to be slightly stronger than AD R+ DC, but its consistency strength is not computed precisely. An equiconsistency result at the level of AD R without DC is also obtained.
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