Some results on higher eigenvalue optimization
Some results on higher eigenvalue optimization
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高特征值优化的一些结果
DOI：
10.1007/s00526-020-01802-9
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发表时间：
2020
影响因子：
2.1
通讯作者：
Schoen, Richard
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Fraser, Ailana;Schoen, Richard
在本文中，我们得到了几个结果，无论是在二维和高维情况下的高斯泰克洛夫特征值的优化。我们首先表明，规范化（边界长度）的第k次Steklov特征值的磁盘上是不是最大化的磁盘上的光滑度量。Weinstock（J Ration Mech Anal 3：745-753，1954）的经典结果表明，在圆圆盘上的标准度规使之最大化。Girouard和Polterovich（Funct Anal Appl 44（2）：106-117，2010）表明，对于平滑度量，Forit不是最大化的。我们还证明了临界悬链面和临界莫比乌斯带作为自由边界极小曲面的局部刚性结果。接下来我们证明了第一个kSteklov特征值在任意维的黎曼流形的某些退化下是连续的。最后证明了环上的第k个Steklov特征值的上确界严格大于过不变度量。我们证明了同样的结果的度量上的莫比乌斯带。
In this paper we obtain several results concerning the optimization of higher Steklov eigenvalues both in two and higher dimensional cases. We first show that the normalized (by boundary length)k-th Steklov eigenvalue on the disk is not maximized for a smooth metric on the disk for. Forthe classical result of Weinstock (J Ration Mech Anal 3:745–753, 1954) shows thatis maximized by the standard metric on the round disk. Forit was shown by Girouard and Polterovich (Funct Anal Appl 44(2):106–117, 2010) thatis not maximized for a smooth metric. We also prove a local rigidity result for the critical catenoid and the critical Möbius band as free boundary minimal surfaces in a ball underdeformations. We next show that the firstkSteklov eigenvalues are continuous under certain degenerations of Riemannian manifolds in any dimension. Finally we show that forthe supremum of thek-th Steklov eigenvalue on the annulus over all metrics is strictly larger that that over-invariant metrics. We prove this same result for metrics on the Möbius band.
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