Realizations of abstract regular polytopes from a representation theoretic view
Realizations of abstract regular polytopes from a representation theoretic view
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从表示理论的角度实现抽象正多胞形
DOI：
10.1007/s00010-016-0434-y
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发表时间：
2016
影响因子：
0.8
通讯作者：
Frieder Ladisch
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Frieder Ladisch
彼得·麦克马伦发展了一个抽象正则多面体的实现理论，并证明了直到同余的实现形成了一个尖凸锥，它是某些不可约子锥的直积。我们证明了这些子锥同构于一组维数为真实的数、复数或四元数的半正定埃尔米特矩阵。特别是，我们纠正了错误的计算这些子锥的尺寸由McMullen和蒙森。我们证明了抽象正则多面体的自同构群可以具有任意大的本质Wythoff维数的不可约特征。这给出了赫尔曼和蒙森的一个结果的反例，这个结果是从前面提到的错误计算中得出的。我们还讨论了某些纯实现的余弦向量与Gelfand对理论中出现的球函数之间的关系。
Peter McMullen has developed a theory of realizations of abstract regular polytopes, and has shown that the realizations up to congruence form a pointed convex cone which is the direct product of certain irreducible subcones. We show that each of these subcones is isomorphic to a set of positive semi-definite hermitian matrices of dimensionmover either the real numbers, the complex numbers or the quaternions. In particular, we correct an erroneous computation of the dimension of these subcones by McMullen and Monson. We show that the automorphism group of an abstract regular polytope can have an irreducible characterwithand with arbitrarily large essential Wythoff dimension. This gives counterexamples to a result of Herman and Monson, which was derived from the erroneous computation mentioned before. We also discuss a relation between cosine vectors of certain pure realizations and the spherical functions appearing in the theory of Gelfand pairs.
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