Algorithm for overcoming the curse of dimensionality for state-dependent Hamilton-Jacobi equations
Algorithm for overcoming the curse of dimensionality for state-dependent Hamilton-Jacobi equations
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克服状态相关的 Hamilton-Jacobi 方程维数灾难的算法
DOI：
10.1016/j.jcp.2019.01.051
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发表时间：
2019
影响因子：
4.1
通讯作者：
Yin, Wotao
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Chow, Yat Tin;Darbon, Jérôme;Osher, Stanley;Yin, Wotao
在本文中，我们开发的算法，以克服维数灾难的非凸状态依赖的Hamilton-Jacobi偏微分方程（HJ PDE）所产生的最优控制和微分对策问题。子问题是独立的，他们可以实现在一个并行的方式。这对于并行计算中的完美缩放是理想的。该算法是为了克服HJ偏微分方程求解时的维数灾难[1]、[2]而提出的。本文的主要贡献是将偏微分方程问题或曲线空间上的优化问题的求解转化为单个向量的优化问题，这超出了[40]的工作。本文将文献[7]，[9]，[15]中的方法推广到了哈密顿量为凸函数时的状态相关HJ偏微分方程的求解，并将文献[18]，[25]，[50]中著名的Hopf公式推广到了哈密顿量为非凸函数时的状态相关HJ偏微分方程的求解.为了完整起见，我们在限制性假设下证明了公式的有效性，并希望将我们的读者带到[62]，它在更一般的设置中验证了我们的假设。我们证明我们公式中最弱的假设是类似于[50]中所述的伪凸性假设。我们的方法预计将应用于控制理论、微分博弈问题和其他领域。
In this paper, we develop algorithms to overcome the curse of dimensionality in non-convex state-dependent Hamilton-Jacobi partial differential equations (HJ PDEs) arising from optimal control and differential game problems. The subproblems are independent and they can be implemented in an embarrassingly parallel fashion. This is ideal for perfect scaling in parallel computing. The algorithm is proposed to overcome the curse of dimensionality [1], [2] when solving HJ PDE. The major contribution of the paper is to change either the solving of a PDE problem or an optimization problem over a space of curves to an optimization problem of a single vector, which goes beyond the work of [40]. We extend the method in [7], [9], [15], andconjecturea (Lax-type) minimization principle to solvestate-dependentHJ PDE when the Hamiltonian is convex, as well as a (Hopf-type) maximization principle to solvestate-dependentHJ PDE when the Hamiltonian isnon-convex, as a generalization of the well-known Hopf formula in [18], [25], [50]. We showed the validity of the formula under restricted assumption for the sake of completeness, and would like to bring our readers to [62] which validates our conjectures in a more general setting. We conjectured the weakest assumption of our formula to hold is a pseudoconvexity assumption similar to one stated in [50]. Our method is expected to have application in control theory, differential game problems and elsewhere.
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