Stochastic approximation of lamplighter metrics
Stochastic approximation of lamplighter metrics
复制标题
点灯者指标的随机近似
DOI：
10.1112/blms.12657
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发表时间：
2022
影响因子：
0.9
通讯作者：
Zsák, András
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Baudier, Florent;Motakis, Pavlos;Schlumprecht, Thomas;Zsák, András
我们观察到随机度量的嵌入可以有效地用于研究lamplighter图或群的L1$L_1$‐嵌入性，以及更一般的lamplighter度量空间。一旦建立了这种联系，从已知的随机嵌入到主导树度量的相关估计中，可以得到关于点灯器度量的L1$ L1$‐失真的几个新的上界估计。例如，在n$n$‐点度量空间上，每个点灯度量都以O(logn)$O(\log n)$畸变将bi - Lipschitzly嵌入到L1$L_1$中。特别地，对于每一个有限群G$G$，点灯群H=Z2 * G$H=\mathbb {Z}_2\wr G$ bi‐Lipschitzly嵌入到L1$L_1$中，失真为O(loglog|H|)$O(\log \log |H|)$。在点灯结构中的地面空间是具有一些拓扑限制的图的情况下，可以获得更好的失真估计。最后，我们讨论了如何从有限d$d$维网格上的lamplighter图的bi - Lipschitz嵌入到d$d$维无限晶格Zd$\mathbb {Z}^d$上构造lamplighter群的L1$L_1$的粗糙嵌入，并对有限度量空间上的Lipschitz自由空间进行了评论。
We observe that embeddings into random metrics can be fruitfully used to study the L1$L_1$‐embeddability of lamplighter graphs or groups, and more generally lamplighter metric spaces. Once this connection has been established, several new upper bound estimates on the L1$L_1$‐distortion of lamplighter metrics follow from known related estimates about stochastic embeddings into dominating tree‐metrics. For instance, every lamplighter metric on an n$n$‐point metric space embeds bi‐Lipschitzly into L1$L_1$ with distortion O(logn)$O(\log n)$. In particular, for every finite group G$G$ the lamplighter group H=Z2≀G$H=\mathbb {Z}_2\wr G$ bi‐Lipschitzly embeds into L1$L_1$ with distortion O(loglog|H|)$O(\log \log |H|)$. In the case where the ground space in the lamplighter construction is a graph with some topological restrictions, better distortion estimates can be achieved. Finally, we discuss how a coarse embedding into L1$L_1$ of the lamplighter group over the d$d$‐dimensional infinite lattice Zd$\mathbb {Z}^d$ can be constructed from bi‐Lipschitz embeddings of the lamplighter graphs over finite d$d$‐dimensional grids, and we include a remark on Lipschitz free spaces over finite metric spaces.
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