Random self-similar trees and a hierarchical branching process
Random self-similar trees and a hierarchical branching process
复制标题
随机自相似树和分层分支过程
DOI：
10.1016/j.spa.2018.07.015
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发表时间：
2018
影响因子：
1.4
通讯作者：
Zaliapin, Ilya
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kovchegov, Yevgeniy;Zaliapin, Ilya
我们研究随机二叉根树的自相似性。在高尔顿-沃森树的一个很好理解的例子中，如果树空间上的分布对于修剪树叶的操作是不变的，那么它被称为自相似的。这只发生在临界的高尔顿-沃森树（一个常数过程的后代），它也表现出其他特殊的对称性。我们扩展的修剪不变设置任意的二叉树的边缘长度。在这种一般情况下，自相似过程的类别变得更加丰富，并涵盖了各种实际重要的情况。主要结果是构造了满足各种自相似性定义（包括平均自相似性和边长自相似性）的层次分支过程，这些定义取决于过程参数。取平均随机动力学的极限，随着轨迹数的增加，我们得到一个确定性的微分方程系统，描述过程的演变。这个系统是用来建立一个相变，分离衰落和爆炸行为的平均过程的后代。我们描述了一类发生在相变边界的临界Tokunaga过程。他们享有多个额外的对称性，包括著名的临界二元Galton-Watson树与独立的指数边长度作为一个特殊情况。最后，我们讨论了树与连续函数之间的对偶性，并引入了一类极值不变过程，它被构造为自相似层次分支过程的Harris路径，其局部极小值具有与原过程相同的（线性标度）分布。
We study self-similarity in random binary rooted trees. In a well-understood case of Galton–Watson trees, a distribution on a space of trees is said to be self-similar if it is invariant with respect to the operation of pruning, which cuts the tree leaves. This only happens for the critical Galton–Watson tree (a constant process progeny), which also exhibits other special symmetries. We extend the prune-invariance setup to arbitrary binary trees with edge lengths. In this general case the class of self-similar processes becomes much richer and covers a variety of practically important situations. The main result is construction of thehierarchical branching processesthat satisfy various self-similarity definitions (including mean self-similarity and self-similarity in edge-lengths) depending on the process parameters. Taking the limit of averaged stochastic dynamics, as the number of trajectories increases, we obtain a deterministic system of differential equations that describes the process evolution. This system is used to establish a phase transition that separates fading and explosive behavior of the average process progeny. We describe a class ofcritical Tokunagaprocesses that happen at the phase transition boundary. They enjoy multiple additional symmetries and include the celebrated critical binary Galton–Watson tree with independent exponential edge length as a special case. Finally, we discuss a duality between trees and continuous functions, and introduce a class ofextreme-invariantprocesses, constructed as the Harris paths of a self-similar hierarchical branching process, whose local minima has the same (linearly scaled) distribution as the original process.
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DOI：
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