Positive trace polynomials and the universal Procesi–Schacher conjecture
Positive trace polynomials and the universal Procesi–Schacher conjecture
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正迹多项式和普适 ProcesiâSchacher 猜想
DOI：
10.1112/plms.12156
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发表时间：
2018
影响因子：
1.8
通讯作者：
J. Volcic
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
I. Klep;Š. Špenko;J. Volcic
正性是实代数几何中的基本结果，为半代数集上多项式的正性提供了代数证明。给出了半代数矩阵集上迹多项式为正的正解。利用带分母的Hermite平方的加权和，证明了Krivine-Stengle型正解在一般半代数集上刻画了迹多项式的非负性.这些证书中的权重是从厄米正方形的生成元和迹元中获得的.对于紧致半代数集，得到了Schmüdgen-型和Putin型正态stellensätze：每个迹多项式都有一个有权无分母的Hermite平方分解之和.所采用的方法受到不变量理论、经典实代数几何和泛函分析的启发。Procesi和Schacher在1976年发展了具有对合的中心单代数的序和正性理论，并对普适的中心单次代数提出了Hilbert第17个问题：每个完全正元都是Hermite平方的和吗？他们给出了肯定的回答。本文对此给出了否定的回答。因此，将埃尔米特方块的痕迹作为权重纳入Positivstellensätze是必不可少的。
Positivstellensätze are fundamental results in real algebraic geometry providing algebraic certificates for positivity of polynomials on semialgebraic sets. In this article, Positivstellensätze for trace polynomials positive on semialgebraic sets ofmatrices are provided. A Krivine–Stengle‐type Positivstellensatz is proved characterizing trace polynomials nonnegative on a general semialgebraic setusing weighted sums of Hermitian squares with denominators. The weights in these certificates are obtained from generators ofandtraces of Hermitian squares. For compact semialgebraic setsSchmüdgen‐ and Putinar‐type Positivstellensätze are obtained: every trace polynomial positive onhas a sum of Hermitian squares decomposition with weights and without denominators. The methods employed are inspired by invariant theory, classical real algebraic geometry and functional analysis.Procesi and Schacher in 1976 developed a theory of orderings and positivity on central simple algebras with involution and posed a Hilbert's 17th problem for a universal central simple algebra of degree: is every totally positive element a sum of Hermitian squares? They gave an affirmative answer for. In this paper, a negative answer foris presented. Consequently, including traces of Hermitian squares as weights in the Positivstellensätze is indispensable.
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DOI：
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