Applications of Fourier analysis to convex geometry
傅立叶分析在凸几何中的应用
基本信息
- 批准号:1001234
- 负责人:
- 金额:$ 16万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Continuing Grant
- 财政年份:2010
- 资助国家:美国
- 起止时间:2010-07-01 至 2013-06-30
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
The principal investigator plans to apply methods of Fourier analysis to convex geometry, functional analysis and probability. The study of geometric properties of convex bodies based on information about sections and projections of these bodies has important applications to many areas of mathematics and science. A new approach to sections of convex bodies, based on methods of Fourier analysis, has recently been developed by the investigator. The idea of this approach is to express different cross-sectional characteristics of a body in terms of the Fourier transform and then use methods of harmonic analysis to solve geometric problems. The investigator plans to apply this approach to characterizations of different classes of bodies, determination of convex bodies from data about their sections and projections, geometric inequalities of the Busemann-Petty type. A connection between intersection bodies, one of the main objects in convex geometry, and functional spaces has recently been found by the investigator. The investigator plans to use this connection to establish new results about intersection bodies using methods of functional analysis. An old problem in probability is to characterize all random vectors having the property that all linear combinations of coordinates have the same distribution, up to a constant. The classical examples are stable random vectors. The investigator plans to characterize all random vectors with this property.The problems considered in this proposal belong to three areas of mathematics: convex geometry, functional analysis and probability. However, the strategy of solution is common for most of the results - the question is translated into the language of the Fourier transform and then treated as a problem from harmonic analysis. In convex geometry, the principal investigator studies properties of convex bodies based on data related to sections and projections of these bodies. This direction, often named geometric tomography, has numerous applications to engineering and medicine. The problems in functional analysis are related to the theory of embedding of metric spaces that has many applications to computer science. In probability, the investigator plans to study generalizations of stable processes that play important role in several areas of mathematics and statistics. The Fourier transform of distributions will serve as the main technical tool, and a significant part of the work will depend on new techniques for calculating the Fourier transform. These techniques have independent value and have already been applied to other areas of mathematics, signal processing and statistics. An important part of the project is the involvement and training of graduate students.
主要研究者计划将傅立叶分析方法应用于凸几何、泛函分析和概率。基于凸体的截面和投影信息来研究凸体的几何性质在数学和科学的许多领域都有重要的应用。研究人员最近开发了一种基于傅里叶分析方法的凸体截面的新方法。这种方法的思想是用傅里叶变换来表示物体的不同横截面特征,然后用调和分析的方法来解决几何问题。研究人员计划将这种方法应用于不同类别的机构,确定凸体的数据,他们的部分和预测,几何不等式的Busemann-Petty类型的特征。相交体是凸几何中的主要对象之一,它与函数空间之间的联系最近被研究者发现。研究者计划利用这种联系,使用功能分析方法建立关于相交体的新结果。概率论中的一个老问题是描述所有随机向量的性质,即所有坐标的线性组合具有相同的分布,直到一个常数。经典的例子是稳定的随机向量。研究者计划用这一性质来刻画所有的随机向量,这个提议中考虑的问题属于数学的三个领域:凸几何、泛函分析和概率。然而,解决方案的策略是常见的大多数结果-问题被翻译成语言的傅立叶变换,然后作为一个问题,从谐波分析。在凸几何中,主要研究者根据与这些物体的截面和投影相关的数据研究凸体的性质。这个方向,通常被称为几何层析成像,在工程和医学上有许多应用。泛函分析中的问题与度量空间的嵌入理论有关,该理论在计算机科学中有许多应用。在概率,调查员计划研究在数学和统计的几个领域中发挥重要作用的稳定过程的概括。分布的傅里叶变换将作为主要的技术工具,工作的很大一部分将取决于计算傅里叶变换的新技术。这些技术具有独立的价值,并已应用于数学、信号处理和统计学的其他领域。该项目的一个重要部分是研究生的参与和培训。
项目成果
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