外微分式系により一般化したモンジュ・アンペール方程式の研究と幾何学的特異解の構成

本研究の目的は、E. CartanやJ. Darboux、E. Goursatらの時代から扱われている外微分式系という幾何学的対象を用いて、一般化されたモンジュ・アンペール方程式（GMA方程式）の解の構成や方程式自体の性質を明らかにすることである。我々の先行研究において、GMA方程式は特別な外微分式系である一般化されたモンジュ・アンペール式系（GMA式系）と対応することが知られていたため、本研究においてはGMA式系を用いてGMA方程式を調べた。今年度においては、GMA方程式の中でも最も単純かつモンジュ・アンペール方程式に含まれない偏微分方程式を調べ、対応するGMA式系の性質の研究やGMA方程式の解の構成を行った。(1) 今回の研究においては、GMA方程式の解の構成を行う過程においてCauchy特性系の理論を用いる。そのため、まずGMA式系のCauchy特性系が消滅しないための必要十分条件を明らかにした。その後、Cauchy特性系によって定まる葉空間を考え、その上の簡約外微分式系の生成系を求めた。また簡約外微分式系については、derived systemという外微分式系の不変量を計算することにより、今回の場合については本質的に２つのタイプのみ現れることが分かった。(2) 解の構成についてはCauchy特性系の方法を用いて行い、いくつかの具体例については明示的に解を構成した。また、通常の意味の解の他に、特異点を許容するグラフを持つ解（幾何学的特異解）の構成を行った。さらに、特異点論を応用することにより、構成した幾何学的特異解に現れる特異点がカスプ辺、ツバメの尾、バタフライといった非退化な特異点になるための必要十分条件も得ることができた。

本研究の目的は、E. CartanやJ. Darboux、E. Goursatらの時代から扱われている外微分式系という幾何学的対象を用いて、一般化されたモンジュ・アンペール方程式（GMA方程式）の解の構成や方程式自体の性質を明らかにすることである。我々の先行研究において、GMA方程式は特別な外微分式系である一般化されたモンジュ・アンペール式系（GMA式系）と対応することが知られていたため、本研究においてはGMA式系を用いてGMA方程式を調べた。今年度においては、GMA方程式の中でも最も単純かつモンジュ・アンペール方程式に含まれない偏微分方程式を調べ、対応するGMA式系の性質の研究やGMA方程式の解の構成を行った。(1) 今回の研究においては、GMA方程式の解の構成を行う過程においてCauchy特性系の理論を用いる。そのため、まずGMA式系のCauchy特性系が消滅しないための必要十分条件を明らかにした。その後、Cauchy特性系によって定まる葉空間を考え、その上の簡約外微分式系の生成系を求めた。また簡約外微分式系については、derived systemという外微分式系の不変量を計算することにより、今回の場合については本質的に２つのタイプのみ現れることが分かった。(2) 解の構成についてはCauchy特性系の方法を用いて行い、いくつかの具体例については明示的に解を構成した。また、通常の意味の解の他に、特異点を許容するグラフを持つ解（幾何学的特異解）の構成を行った。さらに、特異点論を応用することにより、構成した幾何学的特異解に現れる特異点がカスプ辺、ツバメの尾、バタフライといった非退化な特異点になるための必要十分条件も得ることができた。