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外微分式系により一般化したモンジュ・アンペール方程式の研究と幾何学的特異解の構成

外微分方程组推广的Monge-Ampere方程研究及几何奇异解的构造

基本信息

批准号：
21J12161
负责人：
川又将大
金额：
$ 0.96万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-28 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は、E. CartanやJ. Darboux、E. Goursatらの時代から扱われている外微分式系という幾何学的対象を用いて、一般化されたモンジュ・アンペール方程式（GMA方程式）の解の構成や方程式自体の性質を明らかにすることである。我々の先行研究において、GMA方程式は特別な外微分式系である一般化されたモンジュ・アンペール式系（GMA式系）と対応することが知られていたため、本研究においてはGMA式系を用いてGMA方程式を調べた。今年度においては、GMA方程式の中でも最も単純かつモンジュ・アンペール方程式に含まれない偏微分方程式を調べ、対応するGMA式系の性質の研究やGMA方程式の解の構成を行った。(1) 今回の研究においては、GMA方程式の解の構成を行う過程においてCauchy特性系の理論を用いる。そのため、まずGMA式系のCauchy特性系が消滅しないための必要十分条件を明らかにした。その後、Cauchy特性系によって定まる葉空間を考え、その上の簡約外微分式系の生成系を求めた。また簡約外微分式系については、derived systemという外微分式系の不変量を計算することにより、今回の場合については本質的に２つのタイプのみ現れることが分かった。(2) 解の構成についてはCauchy特性系の方法を用いて行い、いくつかの具体例については明示的に解を構成した。また、通常の意味の解の他に、特異点を許容するグラフを持つ解（幾何学的特異解）の構成を行った。さらに、特異点論を応用することにより、構成した幾何学的特異解に現れる特異点がカスプ辺、ツバメの尾、バタフライといった非退化な特異点になるための必要十分条件も得ることができた。

The purpose of this study is to investigate E. CartanやJ. Darboux、E. Goursat's time series of exterior differential equations and geometric objects are used, generalized, and composed of equations (GMA equations) and their properties. In our previous study, GMA equations were generalized and used in GMA equations. This paper studies the properties of GMA equation system including partial differential equations and the composition of GMA equation solution. (1)This paper studies the application of Cauchy characteristic system theory in the process of solving GMA equation. The Cauchy property of GMA system is the necessary condition for eliminating it. A study of the Cauchy characteristic system and the generation system of the reduced external differential equation system A simplified system of external differential equations is derived from a system of external differential equations. (2)The method of solving the problem is to use the method of solving the problem. The general meaning of the solution and the special point of the solution (geometric special solution) are allowed to form. The special point theory is used to construct the special solution of geometry, and the necessary conditions are obtained.