Exploring the nature of promise problems that allows an exponential speedup in quantum computation

昨年度に引き続き、三次元における可積分性の支配方程式である、四面体方程式について研究を行った。四面体方程式に対する代数的アプローチとしては、Kapranov-Voevodskyによる量子座標環の表現論を用いた解が知られている。Bazhanov-Sergeevはq-Oscillator代数を行列要素に持つL演算子を導入し、RLLL型の四面体方程式を解くことで、これを独立に再導出した。本年度の研究では、q-Oscillator代数の一般化であるq-Weyl代数を用いて、Bazhanov-Sergeevによって導入されたL演算子を一般化した。また、これに対応して複数考えられるRLLL型の四面体方程式を解き、それらに対して明示式を与え、Bazhanov-Sergeevによる単一の解を解のファミリーへと拡張することに成功した。得られた解はいずれも規格化を除いて一意に定まり、また、いずれも行列要素がq-超幾何関数で記述されるか、または完全に因子化するという顕著な性質を持つ。さらに、得られた解はRLLL型だけではなく、RRRR型の四面体方程式を満たすことが期待されるが、計算機を用いることで、実際にいくつかの場合に対して成り立っていることを確認した。また、一部の解については、Kapranov-Voevodskyによるアプローチと同様に、量子座標環の表現のintertwinerとして得られることを示した。以上の成果はchiral Potts模型などの一の冪根における諸問題との関連、また、三次元反射方程式への応用など、多様な展望を含むものである。これらの結果は国際論文誌Communications in Mathematical Physicsに掲載が決定している。また、日本数学会一般講演や国際研究集会において口頭発表を行った。

昨年度に引き続き、三次元における可積分性の支配方程式である、四面体方程式について研究を行った。四面体方程式に対する代数的アプローチとしては、Kapranov-Voevodskyによる量子座標環の表現論を用いた解が知られている。Bazhanov-Sergeevはq-Oscillator代数を行列要素に持つL演算子を導入し、RLLL型の四面体方程式を解くことで、これを独立に再導出した。本年度の研究では、q-Oscillator代数の一般化であるq-Weyl代数を用いて、Bazhanov-Sergeevによって導入されたL演算子を一般化した。また、これに対応して複数考えられるRLLL型の四面体方程式を解き、それらに対して明示式を与え、Bazhanov-Sergeevによる単一の解を解のファミリーへと拡張することに成功した。得られた解はいずれも規格化を除いて一意に定まり、また、いずれも行列要素がq-超幾何関数で記述されるか、または完全に因子化するという顕著な性質を持つ。さらに、得られた解はRLLL型だけではなく、RRRR型の四面体方程式を満たすことが期待されるが、計算機を用いることで、実際にいくつかの場合に対して成り立っていることを確認した。また、一部の解については、Kapranov-Voevodskyによるアプローチと同様に、量子座標環の表現のintertwinerとして得られることを示した。以上の成果はchiral Potts模型などの一の冪根における諸問題との関連、また、三次元反射方程式への応用など、多様な展望を含むものである。これらの結果は国際論文誌Communications in Mathematical Physicsに掲載が決定している。また、日本数学会一般講演や国際研究集会において口頭発表を行った。