極値組合せ論を応用した等差数列とグラフの複雑さについての研究

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まず本研究においては極値組合せ論は重要な道具であり、いくつかの結果を理解する必要があった。これについては昨年度に引き続き行い、理解を深めた。次に最小固有値－３以上のグラフの複雑さに関する問題について述べる。このテーマでは最小固有問－３以上のグラフをノルム３で生成される整格子（以下、３格子）に変換して、その複雑性を調査するものであった。まず、最小固有値－２以上のグラフを３格子にした際の複雑さについて昨年より詳細な結果を得た。また、アルゴリズムや格子とグラフに関する理論を改善することで、昨年度に引き続き具体的な最小固有値－３以上のグラフの複雑性を明らかにした。一方で最小固有値－３以上のグラフのコーンと共通角度がarccos（1/5）の原点を通る直線族（以下、等角直線属）の間に対応があるという理由から、等角直線属に対する応用を与えた。特に主張な結果として、Lemmens-Seidel予想を証明した。これはレメンズ氏とサイデル氏によって1973年に提起されたもので共通角度arccos(1/5)の等角直線族に関する予想である。Lemmens氏ら、2020年のLin氏らの結果、2022年のCao氏らの結果によって一度は証明されたとされていたが、不備を指摘し別の手法を用いることで証明を修正した。さらに、直線族に関するGreaves氏らの2021年の問題とCao氏らの2022年の問題を格子を用いて解決した。このような研究の中でグラフ、直線族、格子の間の新たな変換の発見などにも繋がった。