多重ゼータ値と超幾何関数の新しい関係の研究

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本研究の目的は，多重ゼータ値および多重ポリログ関数と，超幾何関数との関係について，双方向的に，かつ一般的な視点のもとで深く理解することにある．このような関係を考える出発点の一つが，多重ポリログの和の母関数と超幾何関数を結びつける大野・ザギエ型公式であった．本年度は，この大野・ザギエ型公式について，上昇ベキの展開と式変形に基づく新証明を発見した．この証明はオリジナルの大野・ザギエ公式だけでなく，いくつかのパラメータを含む（既知の）一般化にも適用することができる．またこの証明方法は，従来の微分方程式を用いる方法と異なり，直接的に等式をつないでいく議論であるため，変形を逆向きにたどることができる．これにより，適当な一般超幾何関数から出発して逆の変形をたどることでどのような母関数が得られるか，といった考察が可能になった．本年度のもう一つの成果は，Julian Rosen，竹山美宏，田坂浩二各氏との共著による，有限代数的数に関する研究である．この共著論文では，Rosenによる有限代数的数の定式化を見直すとともに，ある種の整構造へ精密化し，さらに代数体における素数の分解法則への応用を与えた．この研究成果そのものは超幾何関数と直接の関係を持たないが，その具体例や関連研究を模索する中で以下のような観察を得た：適当なパラメータを持つ一般超幾何級数をp-1次の項までで打ち切ると，モジュラー形式のp次の係数との間に合同関係式を持つといった興味深い性質を満たす環Aの元が得られる場合がある．このような現象の例は重さ2以上の場合に知られていたが，上述の共著論文の結果からは重さ1の例を得ることができ，対応する一般超幾何級数は1F0である．これはまだ観察の段階であるが，打ち切り超幾何級数の意味付けに関して新しい視点を示唆するものと考えられる．