Complex geometric structures and their moduli on Lie groups and homogeneous spaces

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Vicente Cortes との共著「Unimodular Sasaki and Vaisman Lie groups」Math.Z. 303, 84 (2023)において，単連結ユニモ ジュラーVaismanおよび佐々木リー群の完全な分類が得られた。すなわち，対応するリー環の言葉で述べると，改変 (Modification) を除いて「ユニモジュ ラーVaismanリー環はR x sl(2), R x su(2), R x hのいずれか」に分類され，「ユニモジュラー佐々木リー環はsl(2), su(2), hのいずれか」 に分類される。こ こでhはハイゼンベルグ・リー環である。さらに，これらのリー環上の不変な複素構造を決定した。佐々木構造は強擬凸CR構造で正規条件(normality)を満たすものとして捉えることができる。現在，糟谷久矢 (研究分担者)との共同研究として「カルタン接続に関して局所平坦な単連結非退化CRリー群の決定」の問題に取り組んでいる。最近の結果として，冪零非退化CRリー群はハイゼンベルグ・リー群であり，さらにハイゼンベルグ・リー群上の不な非退化CR構造を具体的に決定した。上記の論文にて，R x su(2)の不変な複素構造はC^2-{0}であることを示したが，対応するリー群としてのS^1 x SU(2)上にはこの複素構造に関してHopf曲面を定義する。一般にC^n-{0}を普遍被覆にするコンパクト複素多様体をHopf多様体と言うが，普遍被覆変換群が対角化可能な線形変換で生成されているときを対角Hopf多様体と言う。対角Hopf多様体上にはVaisman構造が入り，したがってまたLCKポテンシャルを持つ。この性質が十分に小さな変形で保たれることの応用として「任意の一般のHopf多様体は局所共形ケーラー構造をもつ」の簡潔かつ明快な証明を与えた。