Construction of a generalized quantization of Poisson manifolds and its extension to infinite dimensions

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2022年度ははじめに場の量子論的なアプローチに進展があった。ユークリッド空間をポアソン多様体として考えたとき、その自然な量子化で得られる非可換多様体であるモヤル空間上上で場の量子論を考えると、いわゆるUV／IR混合問題で繰り込みが阻まれる問題があるがそれをスカラー場の理論でクリアした理論としてGrosse-Wulkenhaar模型がある。この理論は行列模型としても表現でき、その行列模型を有限サイズのままで解く試みが成功した。無限サイズの極限での解は従来求められていたが、今回より複雑な有限サイズで解いたことが新しい進展であった。この結果は、NUCLEAR PHYSICS Bに掲載され、本科研費を用いて開催した研究会「離散的手法による場と時空のダイナミクス2022」、日本数学界2022秋期分科会等でも発表された。次に、ポアソン代数全体の量子化に関する進展についても述べる。ポアソン代数の量子化全体の構造として、量子化された空間を代数の部分集合としての加群ととらえ、ポアソン代数と併せて一つの圏構造で記述されることを示した。また、行列正則化の逆問題への応用も試みられ、作用汎関数から出発して、この圏の中に量子化の列を与える理論を構築した。ここで扱われている量子化は多くの量子化を含んでおり、さらに場の量子論への拡張も視野に入っている。この結果もNUCLEAR PHYSICS Bに掲載され、また本科研費課題を用いて開催した研究会「Poisson幾何とその周辺 22」などで発表された。