シュレディンガー作用素の埋蔵固有値および閾値レゾナンスの解析

離散シュレディンガー作用素の埋蔵固有値と閾値レゾナンスの関係を調べることを研究の目的としている。d次元正方格子上のシュレディンガー作用素のスペクトル、特にポテンシャル摂動による固有値分布への影響に関する精密な研究の必要性を感じ、有限台ポテンシャルをもつ離散シュレディンガー作用素の場合の離散固有値の個数の精密な評価を行ってきた。これは連続スペクトルから離れた多重度有限の離散固有値の評価である。それ以外にも連続スペクトルに埋め込まれた固有値の存在の可能性があり、研究はその方向に向かった。すでに磯崎・森岡により有限台ポテンシャルの場合には連続スペクトルの内部における埋蔵固有値の非存在が示されていた。しかし連続スペクトルの端点においては埋蔵固有値（閾値埋蔵固有値）が存在する可能性があり、これを調べることとした。この研究の過程で、閾値埋蔵固有値の存在・非存在の条件を得るだけでなく、閾値埋蔵固有値をもつポテンシャル全体の集合をP_{s}とし、Persistent 集合（多様体）と名付け、P_{s}の幾何的な構造を明らかにしていくという新たな研究視点を得た。Persistent set (variety)を決定し、その幾何学的構造および、それの特異点と元の作用素のスペクトルとの関係を調べている。このPersistent集合の研究の過程で、固有状態ではないが、連続スペクトルの端点において減衰するシュレデインガー方程式の解を見つけることができた。そこでこれを微分作用素で知られているレゾナント状態との関係において解析していくという研究方向を得ることが出来、特にサポートが有限でないより一般の場合にレゾナンスの意味ある定義を与え、レゾナント状態の無限遠での漸近展開により特徴付けることを目指している。またFermi面上に現れる楕円型、双曲型特異点とレゾナンスの存在との関係に関する研究を推進していく。

離散シュレディンガー作用素の埋蔵固有値と閾値レゾナンスの関係を調べることを研究の目的としている。d次元正方格子上のシュレディンガー作用素のスペクトル、特にポテンシャル摂動による固有値分布への影響に関する精密な研究の必要性を感じ、有限台ポテンシャルをもつ離散シュレディンガー作用素の場合の離散固有値の個数の精密な評価を行ってきた。これは連続スペクトルから離れた多重度有限の離散固有値の評価である。それ以外にも連続スペクトルに埋め込まれた固有値の存在の可能性があり、研究はその方向に向かった。すでに磯崎・森岡により有限台ポテンシャルの場合には連続スペクトルの内部における埋蔵固有値の非存在が示されていた。しかし連続スペクトルの端点においては埋蔵固有値（閾値埋蔵固有値）が存在する可能性があり、これを調べることとした。この研究の過程で、閾値埋蔵固有値の存在・非存在の条件を得るだけでなく、閾値埋蔵固有値をもつポテンシャル全体の集合をP_{s}とし、Persistent 集合（多様体）と名付け、P_{s}の幾何的な構造を明らかにしていくという新たな研究視点を得た。Persistent set (variety)を決定し、その幾何学的構造および、それの特異点と元の作用素のスペクトルとの関係を調べている。このPersistent集合の研究の過程で、固有状態ではないが、連続スペクトルの端点において減衰するシュレデインガー方程式の解を見つけることができた。そこでこれを微分作用素で知られているレゾナント状態との関係において解析していくという研究方向を得ることが出来、特にサポートが有限でないより一般の場合にレゾナンスの意味ある定義を与え、レゾナント状態の無限遠での漸近展開により特徴付けることを目指している。またFermi面上に現れる楕円型、双曲型特異点とレゾナンスの存在との関係に関する研究を推進していく。