Nevanlinna theory and default functions on general spaces

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前年度の研究では、１次元トロピカルネヴァンリンナ理論を拡張するため、グラフ上のネヴァンリンナ理論をグラフ上の拡散過程を用いて定式化した。2022年度はこの拡張されたネヴァンリンナ理論について引き続き研究を行った。１次元トロピカルネヴァンリンナ理論は、Halburd と Southall、 および Leine と Tohge によって、実数空間上の関数に対する古典的有理形関数論におけるネヴァンリンナ理論の類似として提起された。そこでは有理形関数の対応物として、区分的に線形なリプシッツ連続関数が考えられている。このような関数はトロピカル有理形関数と呼ばれる。さらにこれは、局所的に二つの凸関数の差でかける関数の特別な場合となっている。我々は、より広いクラスの関数を対象とし、関数の定義域がより一般的なグラフとなるように従来の理論を拡張することを目標とした。そのために、グラフ上の凸関数の概念を導入し、さらに、トロピカル有理形関数の対応物として、デルタ凸関数の概念を導入した。我々のネヴァンリンナ理論はこのデルタ凸関数に対するものである。古典的ネヴァンリンナ理論では、「対数微分の補題」と呼ばれる定理が重要な役割を果たす。 Halburd と Southall はその１次元トロピカルネヴァンリンナ理論において、対数微分の補題の類似物を証明した。我々は、樹木構造を持つグラフ上のデルタ凸関数に対して、対数微分の補題の類似物を証明した。前年度までの研究では、トロピカル有理形関数に対応する関数のクラスが不明確であったために、グラフに本質的でない条件が加わるなど、不十分なところがあったが、デルタ凸関数という関数のクラスを設定することで、より明解・適切なものにすることができた。本結果は1次元トロピカルネヴァンリンナ理論の主要部を包含し、デルタ凸関数の概念は1次元の結果の拡張としても自然なものである。