Study of vector fields and development of convex analysis on complete geodesic spaces

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本研究の目的は、近年急速に発展が進んでいる完備測地距離空間上の凸解析学の理論を、ベクトル場の概念を用いて再構成することである。2022年度は、前年度に引き続き、ベクトル場の研究に対する準備に相当するいくつかの成果が得られた。具体的な成果としては、測地距離空間上の陰的な漸化式によって生成された点列の収束定理や、測地距離空間特有の凸結合に関するさまざまな課題に対応した解近似点列の生成法に関する結果がある。また、凸最小化問題の一般化と見なされる非線形問題の一種である均衡問題についてもさまざまな考察をした。とくに、均衡問題の解近似において重要な役割を果たすリゾルベント作用素の定義において、摂動関数の選択は作用素の性質に直接的な影響があり、何を選択するのが適切かという問題は非常に興味深い。本研究では摂動関数を、定義される空間の曲率上限をパラメタとする関数とみなすことで、選択された摂動関数から得られる作用素の性質を一般的な形でまとめ、その性質を利用したいくつかの解近似定理を得ることに成功した。さらに、摂動関数に関する研究からの派生として、空間の曲率上限の値に対応した関数を用いることでいわゆる中線定理に相当する不等式を統合的な形で表現することに成功した。さらに、この表現方法が従来から研究されているバナッハ空間に対しても適用可能であることを発見した。バナッハ空間の幾何学的性質は測地距離空間のそれとは異なるものであるというのが従来の認識であったが、今回の知見によって、これらを統合した形で研究できる可能性が見出され、今後の発展が期待できるトピックであると考えられる。これらの結果の一部は既に研究論文として公開しており、他の部分についても、部分的に口頭発表などをおこなっている。