一般化シュレディンガー方程式に対する実解析的評価式と非線形分散型方程式への応用

研究計画に基づき、以下の3点について研究を行なった。1. 前年度に引き続き4階シュレディンガー方程式に対する波動作用素を空間3次元においてについて考察した。先行研究では、ゼロレゾナンスがない場合に端点を除くルベーグ空間において波動作用素が有界であることが示されていたが、今回は端点において弱(1,1)型有界性を示し、さらに通常の L^1 および L^\infty 有界性は成立しないことを証明した。端点を除く評価は端点評価と補完定理から直ちに従うため、今回の結果は先行研究を含む形で一般化するものである。この結果は論文にまとめ現在投稿準備中である。2. 星型グラフ上の非線形シュレディンガー方程式を頂点キルヒホッフ境界条件のもとで考察し、臨界長距離型の非線形性を伴う場合に、十分に滑らかな小さな解の大域存在と修正自由解への散乱および修正波動作用素の存在を証明した。これは論文にまとめ国際論文雑誌「Pure and Applied Analysis」に掲載済みである。3. Heisenberg 群上の sub-Laplacian に付随する自由シュレディンガー作用素について考察し、球面微分の損失を伴う一様レゾルベント評価を証明した。特に、水平変数に関して球対称である場合に、Euclid 空間と同様の評価が成り立つことがこの結果から従う。また、同様の設定のもとで自由シュレディンガー方程式の初期値問題に対する時間大域的平滑化作用も直ちに従う。証明にはレゾルベントの具体的表現公式は用いず、その代わりに Mourre 理論を用いた。この手法はより一般的な Lie 群への拡張や分数ベキ・高階シュレディンガー作用素への一般化も期待できる。この結果は現在論文を執筆中である。

研究計画に基づき、以下の3点について研究を行なった。1. 前年度に引き続き4階シュレディンガー方程式に対する波動作用素を空間3次元においてについて考察した。先行研究では、ゼロレゾナンスがない場合に端点を除くルベーグ空間において波動作用素が有界であることが示されていたが、今回は端点において弱(1,1)型有界性を示し、さらに通常の L^1 および L^\infty 有界性は成立しないことを証明した。端点を除く評価は端点評価と補完定理から直ちに従うため、今回の結果は先行研究を含む形で一般化するものである。この結果は論文にまとめ現在投稿準備中である。2. 星型グラフ上の非線形シュレディンガー方程式を頂点キルヒホッフ境界条件のもとで考察し、臨界長距離型の非線形性を伴う場合に、十分に滑らかな小さな解の大域存在と修正自由解への散乱および修正波動作用素の存在を証明した。これは論文にまとめ国際論文雑誌「Pure and Applied Analysis」に掲載済みである。3. Heisenberg 群上の sub-Laplacian に付随する自由シュレディンガー作用素について考察し、球面微分の損失を伴う一様レゾルベント評価を証明した。特に、水平変数に関して球対称である場合に、Euclid 空間と同様の評価が成り立つことがこの結果から従う。また、同様の設定のもとで自由シュレディンガー方程式の初期値問題に対する時間大域的平滑化作用も直ちに従う。証明にはレゾルベントの具体的表現公式は用いず、その代わりに Mourre 理論を用いた。この手法はより一般的な Lie 群への拡張や分数ベキ・高階シュレディンガー作用素への一般化も期待できる。この結果は現在論文を執筆中である。