Lie 群構造をもつ非線形発展方程式の可解性の解明

具有李群结构的非线性演化方程的可解性阐明

• 批准号: 21K03333
• 负责人: 岡 康之
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Daido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03333/
• 关键词: stratified Lie 群; 半線形熱方程式; 初期値問題; 時間大域解; 小さな初期値; ソボレフ空間; 一意存在性; 非線形熱方程式; 非線形発展方程式; 局所可解性

本研究課題はstratified Lie 群（以下SLG）の性質が偏微分方程式の解の性質に対し、どのように関係しているのかを解明することを目的にしている。研究期間初年度に得られた結果は、SLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対するソボレフの尺度劣臨界の空間における解の一意存在性に関する結果であり、ユークリッド空間におけるRiabudの結果をSLGへ拡張するものであった。その結果を考察すると、SLGの特性の１つである伸縮変換（dilation）に関する非等方性の情報は等質次元の中に組み込まれ、ソボレフの尺度臨界指数として現れていた。そのため、尺度臨界におけるユークリッド空間上の結果もSLG上へ一般化可能ではないかと予想された。そこで本研究期間の2年目はSLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対して、ソボレフの尺度臨界な空間における解の一意存在性の解明を試みた。その結果として、尺度臨界指数が正かつ2以下の場合に、尺度臨界空間における十分小さな初期値に対し、時間大域的可解性を得ることが出来た。空間の条件である正かつ2以下の場合の尺度臨界空間における尺度臨界な空間においては、ソボレフの埋め込み定理を用いてルベーグ空間における尺度臨界な空間で議論が可能になる。そのため、劣臨界（研究初年度）における非線形項の評価の際に生じた、SLGが内在する非可換性に起因した難しさは現れず、ユークリッド空間のときと同様にSLGでも大域解の一意存在を示すことができた。この結果はユークリッド空間におけるRiboudの結果のSLGへの一般化になっている。この結果をまとめた論文を査読付き雑誌に投稿済みである。

This research topic is about the properties of the stratified Lie group (hereinafter SLG), the solutions to the partial differential equations, the properties of the solutions, and the relationship between them. During the early years of the research period, the results were obtained and the initial value problem of SLG's non-linear thermal equation was solved.けるsolved one intention existence に关するRESULTS であり, ユークリッドSpace におけるRiabudのRESULTS をSLG へ张するものであった.そのRESULTS すると、SLG の1 つであるStretching change (dilation) に关するThe non-isotropic information and the isotopic dimension of the middle and high-level groups are the same, and the scale critical index of the ソボレフのscale critical index is now れていた.そのため、Scale critical におけるユークリッドThe result on the space is the generalization possibility on the SLG and it is possible to think about it. During the 2nd year of this study, the initial value problem of SLG and the non-linear thermal equation were solved, and the scale-critical space was solved and the existence of the problem was solved. The result is the same, the scale critical exponent is positive and the case is below 2, the scale critical space is very small, the initial stage is small, and the solvability of the large time domain is clear. The condition of the space is the critical space of the scale critical space of the case below 2, the critical space of the scale, It is possible to use the いてルベーグspace における scale critical なspace でargument ソボレフのbury め込みtheorem.そのため、Inferior criticality (first year of research) におけるNonlinear term のvaluation価の国际に生じた、SLG がintrinsic するCause of non-interchangeability It is difficult to solve the problem of space, and it is difficult to solve the problem of space.このRESULTS はユークリッド Space におけるRiboud のRESULTS のSLG へのGENERAL になっている.このRESULTS をまとめたthesisをCHECKFU き雑志に contribute 済みである.