Lie 群構造をもつ非線形発展方程式の可解性の解明

具有李群结构的非线性演化方程的可解性阐明

• 批准号: 21K03333
• 负责人: 岡 康之
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Daido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03333/
• 关键词: stratified Lie 群; 半線形熱方程式; 初期値問題; 時間大域解; 小さな初期値; ソボレフ空間; 一意存在性; 非線形熱方程式; 非線形発展方程式; 局所可解性

本研究課題はstratified Lie 群（以下SLG）の性質が偏微分方程式の解の性質に対し、どのように関係しているのかを解明することを目的にしている。研究期間初年度に得られた結果は、SLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対するソボレフの尺度劣臨界の空間における解の一意存在性に関する結果であり、ユークリッド空間におけるRiabudの結果をSLGへ拡張するものであった。その結果を考察すると、SLGの特性の１つである伸縮変換（dilation）に関する非等方性の情報は等質次元の中に組み込まれ、ソボレフの尺度臨界指数として現れていた。そのため、尺度臨界におけるユークリッド空間上の結果もSLG上へ一般化可能ではないかと予想された。そこで本研究期間の2年目はSLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対して、ソボレフの尺度臨界な空間における解の一意存在性の解明を試みた。その結果として、尺度臨界指数が正かつ2以下の場合に、尺度臨界空間における十分小さな初期値に対し、時間大域的可解性を得ることが出来た。空間の条件である正かつ2以下の場合の尺度臨界空間における尺度臨界な空間においては、ソボレフの埋め込み定理を用いてルベーグ空間における尺度臨界な空間で議論が可能になる。そのため、劣臨界（研究初年度）における非線形項の評価の際に生じた、SLGが内在する非可換性に起因した難しさは現れず、ユークリッド空間のときと同様にSLGでも大域解の一意存在を示すことができた。この結果はユークリッド空間におけるRiboudの結果のSLGへの一般化になっている。この結果をまとめた論文を査読付き雑誌に投稿済みである。

The purpose of this study is to clarify the properties of the solution of a partial differential equation (PDE) by analyzing the properties of the stratified Lie group (SLG). At the beginning of the study period, results were obtained for initial value problems associated with SLG dependent nonlinear heat equations, for the existence of solutions to scale critical spaces, and for Riabud's results for SLG dependent heat equations. As a result, SLG's characteristics are related to the expansion and contraction of non-isotropic information, and the critical index of scale is presented. The result of SLG generalization is possible because of the critical dimension. During the two years of this study, the initial value problem of SLG dependent non-linear heat equation was solved. The result is that when the scale critical exponent is less than 2, the scale critical space is very small, the initial value is very small, and the solvability of the time domain is obtained. Space conditions are below 2. Scale-critical space is possible. In the initial year of the study, SLG was found to be inherently non-commutative, and SLG was found to be non-commutative, and SLG was found to be non-commutative. The result of this is a generalization of SLG. The results of this paper are as follows: