ベクトル空間Wに生息するAPN関数f:V→Wの研究

標数2のベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像は、共通鍵暗号の心臓部（S-box）として活発に研究されている。現在、共通鍵暗号に対する攻撃である「線形・差分攻撃」に対して耐性の高い関数（APN関数）の構成が求められている。今年度はこれらのAPN関数Fに対して F(x)+F(y)+F(z)+F(x+y+z)からなる集合がW全体に一致する条件（これを「D-priperty」という）を中心に研究を進めた。この条件は、VとWが一致するAPN関数については常に成り立つことが知られていたが、それ以外の場合には全く研究されていなかった。この条件（D-property）は、定義域Vと値域Wが異なるAPN関数f:V->Wについて、値域Wが「実質的にはもっと小さいベクトル空間W'にすることが出来ない」ための条件であり、定義域と値域が異なるAPN関数に関する研究の出発点としてまず最初に研究する必要がある条件であり必ず調べなければならない性質である。今年度はこの条件の様々な性質を調べ、また関数の非線形性との関係についても結果を与えた。さらに値域が定義域とは等しく出来ないような様々のAPN関数の構成も与えた。これらの成果については、"D-property of APN functions from F_2^n to F_2^{n+1}$という論文として専門誌「Cryptography and Communications」に2023年に掲載された。上記の私の研究にはすぐに反応があり、M.Abbondati, M.Calderini, I.Vellaによる共著の論文"On Dillon's property of (n,m)-functions" が現在専門誌に投稿されている（まだ掲載されていない）。この中でD-propertyの研究はTaniguchiによって開始されたことがはっきりと記され、また私の結果がいくつかの場合（たとえばCCZ同値が成り立つ条件がPlateaued functionsにまで）に拡張されている。

標数2のベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像は、共通鍵暗号の心臓部（S-box）として活発に研究されている。現在、共通鍵暗号に対する攻撃である「線形・差分攻撃」に対して耐性の高い関数（APN関数）の構成が求められている。今年度はこれらのAPN関数Fに対して F(x)+F(y)+F(z)+F(x+y+z)からなる集合がW全体に一致する条件（これを「D-priperty」という）を中心に研究を進めた。この条件は、VとWが一致するAPN関数については常に成り立つことが知られていたが、それ以外の場合には全く研究されていなかった。この条件（D-property）は、定義域Vと値域Wが異なるAPN関数f:V->Wについて、値域Wが「実質的にはもっと小さいベクトル空間W'にすることが出来ない」ための条件であり、定義域と値域が異なるAPN関数に関する研究の出発点としてまず最初に研究する必要がある条件であり必ず調べなければならない性質である。今年度はこの条件の様々な性質を調べ、また関数の非線形性との関係についても結果を与えた。さらに値域が定義域とは等しく出来ないような様々のAPN関数の構成も与えた。これらの成果については、"D-property of APN functions from F_2^n to F_2^{n+1}$という論文として専門誌「Cryptography and Communications」に2023年に掲載された。上記の私の研究にはすぐに反応があり、M.Abbondati, M.Calderini, I.Vellaによる共著の論文"On Dillon's property of (n,m)-functions" が現在専門誌に投稿されている（まだ掲載されていない）。この中でD-propertyの研究はTaniguchiによって開始されたことがはっきりと記され、また私の結果がいくつかの場合（たとえばCCZ同値が成り立つ条件がPlateaued functionsにまで）に拡張されている。